В цифровом хранилище данные разбиты на несколько одинаковых по размеру дисков, но сейчас на них занято разное количество терабайт (ТБ). Система может за одну операцию переместить любое количество данных с одного диска на другой. А) Есть 4 диска, на которых занято 70, 78, 76, 72 ТБ. За какое наименьшее число операций перемещения данных можно уравнять объём занятого пространства на всех дисках? Б) Предположим, дисков 10. Всегда ли можно уравнять занятое пространство на всех дисках не более чем за 6 операций? В) За какое наименьшее количество операций можно заведомо уравнять занятое пространство на 2026 дисках?

Для удобства считаем числа без размерности (ТБ). А) На дисках 70,78,76,72 . Сумма 296 , среднее 74 . Двух операций достаточно: 78 4 70 (стало 74,74,76,72 ), затем 76 2 72 (стало 74,74,74,74 ). Менее, чем за две операции, уравнять нельзя: после одной операции изменяются только два диска, поэтому остальные сохранят исходные различные значения. Б) Нет. Контрпример: 1,2,,9,55 . Сумма равна 100 , среднее — 10 . Чтобы уравнять, к каждому из первых девяти чисел нужно что-то прибавить (никакое из них не равно 10 и каждое меньше 10 ). Значит, потребуется не менее 9 операций. В) Среднее арифметическое всех 2026 значений обозначим m . Покажем, что 2025 операций всегда достаточно и иногда необходимо. Достаточность 2025 операций. Пока среди значений есть отличные от m , выбираем наименьшее a и наибольшее b (тогда a < m < b ): — если b - m m - a , дополняем a до m из b (получаем одно новое значение m ); — если же m - a > b - m , уменьшаем b до m , прибавляя излишек к a (получаем одно новое значение m ); — если b - m = m - a , за одну операцию выравниваем оба, получаем сразу два новых значения m . Таким образом, после каждой операции количество значений, равных m , увеличивается хотя бы на 1 , причём на последней операции одновременно появятся два новых значения m . Значит, 2025 операций хватает. Необходимость 2025 операций. Контрпример: на дисках с номерами i = 1,2,,2025 занято i ТБ, а на диске с номером 2026 занято 4026675 ТБ. Сумма равна (2025* 2026)/(2) + 4026675 = 6078000 , среднее m = 3000 ТБ. Каждое из чисел 1,2,,2025 меньше 3000 , и нет ни одной пары с суммой 2m = 6000 среди первых 2025 . Значит, до самой последней операции на каждой операции появляется не более одного нового диска со значением 3000 , поэтому понадобится не менее 2025 операций. Реализуется 2025 операций так: с диска 2026 переносим на первый 2999 , на второй 2998 , , на 2025 -й 975 . После последней операции на всех дисках по 3000 ТБ. Ответ: А) 2 Б) нет В) 2025

А) $2$; Б) нет; В) $2025$