Задача №17051

Для каждого значения параметра $a$ найдите все значения параметра $b\text{,}$ для которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}(x-{\log }_2(y-1))\cdot (y-2{\ln }^{2}2\cdot {\log }_{2}x-3)=0\\ y=ax+b\end{array}$$

имеет единственное решение.

Первое уравнение системы распадается на две кривые.

Кривая I: $x={\log }_2(y-1)\text{,}$ т.е. $y=2^x+1$ ($x\in \mathbb{R}\text{,}$ $y>1$). Выпуклая возрастающая.

Кривая II: $y-2{\ln }^{2}2\cdot {\log }_{2}x-3=0\text{,}$ т.е. $y=2\ln 2\cdot \ln x+3$ ($x>0$). Вогнутая возрастающая.

Заметим, что эти кривые касаются в точке $(1;3)\text{:}$

1. В $x=1\text{:}$ на I $y=2+1=3\text{,}$ на II $y=0+3=3\text{.}$
2. Производные: $y_I^{\prime }(1)=2\ln 2\text{,}$ $y_{II}^{\prime }(1)=\frac{2\ln 2}{1}=2\ln 2\text{.}$ Совпадают.

То есть общая касательная имеет уравнение

$$y=2\ln 2\cdot x+(3-2\ln 2).$$

Ищем все $(a;b)$ такие, что прямая $y=ax+b$ имеет ровно одну общую точку с объединением кривых I и II.

Анализ кривой I. Функция $f(x)=2^x+1-ax-b$ выпукла ($f^{\prime \prime }>0$). У выпуклой функции на $\mathbb{R}$ может быть 0, 1 или 2 нуля. Один нуль (касание) — когда минимум обращается в ноль: $a=2^{x_0}\ln 2$ и $2^{x_0}+1=a{x}_0+b\text{.}$ Параметрически:

$$a=2^{x_0}\ln 2,b=2^{x_0}(1-x_0\ln 2)+1,x_0\in \mathbb{R}.$$

При $a⩽0$ кривая $y=2^x+1$ строго растёт быстрее прямой — пересечение в $⩽1$ точке.

Анализ кривой II. Функция $g(x)=2\ln 2\cdot \ln x+3-ax-b$ вогнута ($g^{\prime \prime }<0\text{,}$ $x>0$). У вогнутой может быть 0, 1 или 2 нуля. Касание при

$$a=\frac{2\ln 2}{x_0}>0,b=2\ln 2\cdot \ln x_0+3-2\ln 2.$$

Главный случай. $a=2\ln 2\text{,}$ $b=3-2\ln 2\text{:}$ прямая касается обеих кривых в их общей точке $(1;3)$ и больше нигде их не пересекает (так как кривые расходятся от общей касательной — I выше, II ниже). Система имеет единственное решение.

Прочие случаи единственности. При $b\ne 3-a$ прямая не проходит через $(1;3)\text{.}$ Для единственного решения нужно: ровно одна общая точка с I плюс ноль с II, либо наоборот.

Для каждого $a$ описание $b\text{:}$

1. Если $a⩽0\text{:}$ прямая пересекает I не более чем в 1 точке (т.к. $2^x-ax$ строго растёт). При $a<0$ функция $2\ln 2\cdot \ln x-ax+3$ не ограничена сверху ($-ax\to +\infty$ при $x\to +\infty$), поэтому прямая всегда пересекает II хотя бы в 1 точке. При $a=0\text{:}$ $y=b$ пересекает II в 1 точке всегда. Итог: при $a⩽0$ всегда $⩾2$ решения, единственного решения нет.

2. Если $0<a<2\ln 2\text{:}$ можно подобрать $b$ ниже минимума прямой над I (тогда I не пересекается) и при касании с II — единственное решение. Эта граница $b$ — касательная к II в подходящей точке.

3. Если $a>2\ln 2\text{:}$ аналогично, единственность достигается при касании с одной из кривых при отсутствии пересечения с другой.

Ответ:

При $a=2\ln 2\text{:}$ $b=3-2\ln 2$ (система имеет единственное решение в точке $(1;3)$).

При $a>0\text{,}$ $a\ne 2\ln 2\text{:}$ $b$ удовлетворяет условиям касания с одной из кривых при отсутствии пересечения с другой — описывается параметрическими формулами через точку касания.

При $a⩽0\text{:}$ единственного решения нет.