Для каждого значения параметра a найдите все значения параметра b , для которых система уравнений cases (x - _2(y - 1)) * (y - 2ln^2 2 * _2 x - 3) = 0 y = ax + b cases имеет единственное решение.

Первое уравнение системы распадается на две кривые. Кривая I: x = _2(y - 1) , т.е. y = 2^x + 1 ( x in R , y > 1 ). Выпуклая возрастающая. Кривая II: y - 2ln^2 2 * _2 x - 3 = 0 , т.е. y = 2ln 2 * ln x + 3 ( x > 0 ). Вогнутая возрастающая. Заметим, что эти кривые касаются в точке (1;3) : 1. В x = 1 : на I y = 2 + 1 = 3 , на II y = 0 + 3 = 3 . 2. Производные: y'_I(1) = 2ln 2 , y'_(II)(1) = (2ln 2)/(1) = 2ln 2 . Совпадают. То есть общая касательная имеет уравнение y = 2ln 2 * x + (3 - 2ln 2). Ищем все (a;b) такие, что прямая y = ax + b имеет ровно одну общую точку с объединением кривых I и II. Анализ кривой I. Функция f(x) = 2^x + 1 - ax - b выпукла ( f'' > 0 ). У выпуклой функции на R может быть 0, 1 или 2 нуля. Один нуль (касание) — когда минимум обращается в ноль: a = 2^(x_0)ln 2 и 2^(x_0) + 1 = ax_0 + b . Параметрически: a = 2^(x_0)ln 2, b = 2^(x_0)(1 - x_0ln 2) + 1, x_0 in R. При a 0 кривая y = 2^x + 1 строго растёт быстрее прямой — пересечение в 1 точке. Анализ кривой II. Функция g(x) = 2ln 2 * ln x + 3 - ax - b вогнута ( g'' < 0 , x > 0 ). У вогнутой может быть 0, 1 или 2 нуля. Касание при a = (2ln 2)/(x_0) > 0, b = 2ln 2 * ln x_0 + 3 - 2ln 2. Главный случай. a = 2ln 2 , b = 3 - 2ln 2 : прямая касается обеих кривых в их общей точке (1;3) и больше нигде их не пересекает (так как кривые расходятся от общей касательной — I выше, II ниже). Система имеет единственное решение. Прочие случаи единственности. При b != 3 - a прямая не проходит через (1;3) . Для единственного решения нужно: ровно одна общая точка с I плюс ноль с II, либо наоборот. Для каждого a описание b : 1. Если a 0 : прямая пересекает I не более чем в 1 точке (т.к. 2^x - ax строго растёт). При a < 0 функция 2ln 2 * ln x - ax + 3 не ограничена сверху ( -ax +inf при x +inf ), поэтому прямая всегда пересекает II хотя бы в 1 точке. При a = 0 : y = b пересекает II в 1 точке всегда. Итог: при a 0 всегда 2 решения, единственного решения нет. 2. Если 0 < a < 2ln 2 : можно подобрать b ниже минимума прямой над I (тогда I не пересекается) и при касании с II — единственное решение. Эта граница b — касательная к II в подходящей точке. 3. Если a > 2ln 2 : аналогично, единственность достигается при касании с одной из кривых при отсутствии пересечения с другой. Ответ: При a = 2ln 2 : b = 3 - 2ln 2 (система имеет единственное решение в точке (1;3) ). При a > 0 , a != 2ln 2 : b удовлетворяет условиям касания с одной из кривых при отсутствии пересечения с другой — описывается параметрическими формулами через точку касания. При a 0 : единственного решения нет.

При a=2ln2: b=3-2ln2 (главный случай).