В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A на основании AD отмечена точка M, а на стороне CD — точка N так, что AM = DN и BMN = MND = 90^. а) Докажите, что прямые BD и CM перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции ABCD, если площадь треугольника ABM равна 6, а точка N — середина CD.

Введём систему координат: A=(0,0), B=(0,h), D=(d,0). Поскольку A=90^ и трапеция прямоугольная с основаниями AD BC, имеем C=(c,h), где 0<c<d. Точка M=(k,0) на AD, AM=k. Пусть L=|CD|=sqrt((d-c)^2+h^2). Точка N на CD с DN=k: N=D+(k)/(L)(C-D)=(d-(k(d-c))/(L),(kh)/(L)). Условие MND=90^: NM*ND=0. Имеем ND=(k)/(L)(d-c,-h). После подстановки и упрощения: (d-k)(d-c)=kL. * Условие BMN=90^: MB*MN=0. Имеем MB=(-k,h), и после преобразований с учётом (*): h^2=(d(d-2k)(d-c))/(k). ** Из (*): L=((d-k)(d-c))/(k). Подставляя L^2=(d-c)^2+h^2 в (*)^2 и используя (**), получаем: (2k-d)((d-c)-k)=0. Случай k=d/2 ведёт к h^2=0 — вырождение. Значит k=d-c. а) Доказательство BD CM. Имеем BD=(d,-h), CM=(k-c,-h). Скалярное произведение: BD*CM=d(k-c)+h^2. При k=d-c: d(k-c)=d(d-2c), а из (**): h^2=(d(d-2k)(d-c))/(k)=(d(d-2(d-c))(d-c))/(d-c)=d(2c-d)=-d(d-2c). Значит BD*CM=d(d-2c)-d(d-2c)=0, т.е. BD CM. Что и требовалось доказать. б) Нахождение площади трапеции. Точка N — середина CD: DN=L/2=k, т.е. L=2k. Из (*): L=((d-k)(d-c))/(k)=((d-k)* k)/(k)=d-k. Тогда d-k=2k => d=3k, откуда c=d-k=2k. Из (**): h^2=(3k* k* k)/(k)=3k^2, т.е. h=ksqrt(3). Найдём k^2: S_(ABM)=(1)/(2)* AM* AB=(1)/(2)kh=(1)/(2)k* ksqrt(3)=(k^2sqrt(3))/(2)=6, откуда k^2=(12)/(sqrt(3))=4sqrt(3). Площадь трапеции: S_(ABCD)=(1)/(2)(AD+BC)* AB=(1)/(2)(d+c)h=(1)/(2)* 5k* ksqrt(3)=(5sqrt(3))/(2)* k^2=(5sqrt(3))/(2)* 4sqrt(3)=30. Ответ: S_(ABCD)=30.

30