Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Ларин
В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A на основании AD отмечена точка M, а на стороне CD — точка N так, что AM=DN и ∠BMN=∠MND=90∘.
а) Докажите, что прямые BD и CM перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции ABCD, если площадь треугольника ABM равна 6, а точка N — середина CD.
Введём систему координат: A=(0,0), B=(0,h), D=(d,0). Поскольку ∠A=90∘ и трапеция прямоугольная с основаниями AD∥BC, имеем C=(c,h), где 0<c<d. Точка M=(k,0) на AD, AM=k.
Пусть L=∣CD∣=(d−c)2+h2. Точка N на CD с DN=k:
N=D+Lk(C−D)=(d−Lk(d−c),Lkh).Условие ∠MND=90∘: NM⋅ND=0. Имеем ND=Lk(d−c,−h). После подстановки и упрощения:
(d−k)(d−c)=kL.(*)Условие ∠BMN=90∘: MB⋅MN=0. Имеем MB=(−k,h), и после преобразований с учётом (∗):
h2=kd(d−2k)(d−c).(**)Из (∗): L=k(d−k)(d−c). Подставляя L2=(d−c)2+h2 в (∗)2 и используя (∗∗), получаем:
(2k−d)((d−c)−k)=0.Случай k=d/2 ведёт к h2=0 — вырождение. Значит k=d−c.
а) Доказательство BD⊥CM.
Имеем BD=(d,−h), CM=(k−c,−h). Скалярное произведение:
BD⋅CM=d(k−c)+h2.При k=d−c: d(k−c)=d(d−2c), а из (∗∗):
h2=kd(d−2k)(d−c)=d−cd(d−2(d−c))(d−c)=d(2c−d)=−d(d−2c).Значит BD⋅CM=d(d−2c)−d(d−2c)=0, т.е. BD⊥CM. Что и требовалось доказать.
б) Нахождение площади трапеции.
Точка N — середина CD: DN=L/2=k, т.е. L=2k. Из (∗):
L=k(d−k)(d−c)=k(d−k)⋅k=d−k.Тогда d−k=2k⇒d=3k, откуда c=d−k=2k.
Из (∗∗):
h2=k3k⋅k⋅k=3k2,т.е. h=k3.
Найдём k2:
SABM=21⋅AM⋅AB=21kh=21k⋅k3=2k23=6,откуда k2=312=43.
Площадь трапеции:
SABCD=21(AD+BC)⋅AB=21(d+c)h=21⋅5k⋅k3=253⋅k2=253⋅43=30.Ответ: SABCD=30.