Задача №17048

Найдите точку максимума функции $y=\ln (x-2{)}^3-12x\text{.}$

Область определения: $(x-2{)}^3>0\iff x>2\text{.}$

Используем свойство логарифма $\ln (x-2{)}^3=3\ln (x-2)$ (при $x>2$):

Находим производную:

Приравниваем к нулю:

Определим характер критической точки. При $x\text{,}$ чуть меньшем $2,25$ (но больше $2$), $\frac{3}{x-2}>12\text{,}$ то есть $y^{\prime }>0\text{;}$ при $x>2,25$ величина $\frac{3}{x-2}<12\text{,}$ то есть $y^{\prime }<0\text{.}$ Значит, в $x=2,25$ функция переходит от возрастания к убыванию — это точка максимума.

Ответ: $2,25\text{.}$