Задача №17046

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система

$$\{\begin{array}{l}x-y=1+xy,\\ (y-a)x+(2a-3)y=a\end{array}$$

имеет единственное решение.

1) Из первого уравнения: $x-y=1+xy\iff x-1=y(x+1)\text{.}$

При $x=-1$ получаем $-2=0$ — противоречие, поэтому $x\ne -1$ и $y=\frac{x-1}{x+1}\text{.}$

Подставим во второе уравнение и умножим на $(x+1)\text{:}$

$$(x-1)x-ax(x+1)+(2a-3)(x-1)=a(x+1).$$

Раскрывая скобки и приводя подобные:

$$x^2-x-a{x}^2-ax+2ax-2a-3x+3=ax+a,$$ $$x^2-4x+3=a(x^2+3),$$ $$a=\frac{x^2-4x+3}{x^2+3}=1-\frac{4x}{x^2+3}.$$

2) Введём функцию $\phi (x)=1-\frac{4x}{x^2+3}$ с областью определения $(-\infty ;-1)\cup (-1;+\infty )\text{.}$

Поведение функции:

• ${\lim }_{x\to \pm \infty }\phi (x)=1$ — горизонтальная асимптота $y=1\text{.}$
• ${\lim }_{x\to -1}\phi (x)=1-\frac{-4}{4}=2$ — устранимый разрыв (точка $(-1;2)$ на графике выколота).
• ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{4(x^2-3)}{(x^2+3{)}^2}\text{,}$ ${\phi }^{\prime }(x)=0\iff x=\pm \sqrt{3}\text{.}$
• Локальный максимум в $x=-\sqrt{3}\text{:}$ $\phi (-\sqrt{3})=1+\frac{4\sqrt{3}}{6}=1+\frac{2}{\sqrt{3}}\text{.}$
• Локальный минимум в $x=\sqrt{3}\text{:}$ $\phi (\sqrt{3})=1-\frac{2}{\sqrt{3}}$ (отрицательное число).
• $\phi (x)=0\iff x^2-4x+3=0\iff x\in \{1;3\}\text{;}$ $\phi (0)=1\text{.}$

График функции $\phi (x)$ состоит из двух ветвей. На левой ветви $(-\infty ;-1)$ функция возрастает от $1$ (асимптота) до максимума $1+\frac{2}{\sqrt{3}}$ в $x=-\sqrt{3}\text{,}$ затем убывает к $2$ (предел при $x\to -1^{-}$). На правой ветви $(-1;+\infty )$ функция убывает от $2$ (предел при $x\to -1^{+}$) до минимума $1-\frac{2}{\sqrt{3}}$ в $x=\sqrt{3}\text{,}$ затем возрастает к $1$ (асимптота).

Единственное решение системы соответствует ровно одной точке пересечения горизонтальной прямой $y=a$ с графиком $\phi (x)\text{.}$ Это происходит при следующих $a\text{:}$

• $a=1+\frac{2}{\sqrt{3}}$ — касание в максимуме на левой ветви ($x=-\sqrt{3}$);
• $a=2$ — значение, достигаемое только на левой ветви (на правой — предел при $x\to -1^{+}\text{,}$ не достигается, т.к. $x=-1$ выколота);
• $a=1$ — значение, достигаемое только в $x=0$ на правой ветви (на левой ветви $y=1$ — асимптота, не достигается);
• $a=1-\frac{2}{\sqrt{3}}$ — касание в минимуме на правой ветви ($x=\sqrt{3}$).

Ответ:

$$a\in \left\{1-\frac{2}{\sqrt{3}};1;2;1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right\}.$$