Найдите все значения a , при каждом из которых система cases x - y = 1 + xy, (y - a)x + (2a - 3)y = a cases имеет единственное решение.

1) Из первого уравнения: x - y = 1 + xy <=> x - 1 = y(x + 1) . При x = -1 получаем -2 = 0 -- противоречие, поэтому x != -1 и y = (x-1)/(x+1) . Подставим во второе уравнение и умножим на (x+1) : (x-1)x - ax(x+1) + (2a-3)(x-1) = a(x+1). Раскрывая скобки и приводя подобные: x^2 - x - ax^2 - ax + 2ax - 2a - 3x + 3 = ax + a, x^2 - 4x + 3 = a(x^2 + 3), a = (x^2 - 4x + 3)/(x^2 + 3) = 1 - (4x)/(x^2 + 3). 2) Введём функцию (x) = 1 - (4x)/(x^2 + 3) с областью определения (-inf;-1) U (-1;+inf) . Поведение функции: - _(x +-inf) (x) = 1 -- горизонтальная асимптота y = 1 . - _(x -1) (x) = 1 - (-4)/(4) = 2 -- устранимый разрыв (точка (-1;2) на графике выколота). - '(x) = (4(x^2 - 3))/((x^2 + 3)^2) , '(x) = 0 <=> x = +-sqrt(3) . - Локальный максимум в x = -sqrt(3) : (-sqrt(3)) = 1 + (4sqrt(3))/(6) = 1 + (2)/(sqrt(3)) . - Локальный минимум в x = sqrt(3) : (sqrt(3)) = 1 - (2)/(sqrt(3)) (отрицательное число). - (x) = 0 <=> x^2 - 4x + 3 = 0 <=> x in 1;3 ; (0) = 1 . График функции (x) состоит из двух ветвей. На левой ветви (-inf;-1) функция возрастает от 1 (асимптота) до максимума 1 + (2)/(sqrt(3)) в x = -sqrt(3) , затем убывает к 2 (предел при x -1^- ). На правой ветви (-1;+inf) функция убывает от 2 (предел при x -1^+ ) до минимума 1 - (2)/(sqrt(3)) в x = sqrt(3) , затем возрастает к 1 (асимптота). Единственное решение системы соответствует ровно одной точке пересечения горизонтальной прямой y = a с графиком (x) . Это происходит при следующих a : - a = 1 + (2)/(sqrt(3)) -- касание в максимуме на левой ветви ( x = -sqrt(3) ); - a = 2 -- значение, достигаемое только на левой ветви (на правой -- предел при x -1^+ , не достигается, т.к. x = -1 выколота); - a = 1 -- значение, достигаемое только в x = 0 на правой ветви (на левой ветви y = 1 -- асимптота, не достигается); - a = 1 - (2)/(sqrt(3)) -- касание в минимуме на правой ветви ( x = sqrt(3) ). Ответ: a in 1 - (2)/(sqrt(3));1;2;1 + (2)/(sqrt(3)).

$a \in \left\{1 - \dfrac{2}{\sqrt{3}};\ 1;\ 2;\ 1 + \dfrac{2}{\sqrt{3}}\right\}$