А) Решите уравнение (1 - sin x + sqrt(3)sin 2x)/(2sqrt(3)cos x - 3) = (1)/(3) + sin x. Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку [-(3pi)/(2);(7pi)/(2)) .

А) Решение уравнения (1 - sin x + sqrt(3)sin 2x)/(2sqrt(3)cos x - 3) = (1)/(3) + sin x. ОДЗ: 2sqrt(3)cos x - 3 != 0 , то есть cos x != (sqrt(3))/(2) , то есть x != +-(pi)/(6) + 2pi n . Умножим обе части на 3(2sqrt(3)cos x - 3) и приведём всё к одной стороне: 3(1 - sin x + sqrt(3)sin 2x) - (1 + 3sin x)(2sqrt(3)cos x - 3) = 0. Используя sin 2x = 2sin xcos x : 3 - 3sin x + 6sqrt(3)sin xcos x - 2sqrt(3)cos x + 3 - 6sqrt(3)sin xcos x + 9sin x = 0. Сокращаем +- 6sqrt(3)sin xcos x : 6 + 6sin x - 2sqrt(3)cos x = 0 <=> 3 + 3sin x = sqrt(3)cos x. Перепишем: sqrt(3)cos x - 3sin x = 3 . Делим на sqrt((3)^2 + 9) = 2sqrt(3) : (1)/(2)cos x - (sqrt(3))/(2)sin x = (sqrt(3))/(2) <=> cos(x + (pi)/(3)) = (sqrt(3))/(2). Отсюда x + (pi)/(3) = +-(pi)/(6) + 2pi n , то есть x = -(pi)/(6) + 2pi n или x = -(pi)/(2) + 2pi n . Корни x = -(pi)/(6) + 2pi n исключаются ОДЗ (там cos x = (sqrt(3))/(2) ). Ответ А): x = -(pi)/(2) + 2pi n, n in Z . Б) Корни на промежутке [-(3pi)/(2);(7pi)/(2)) Из серии x = -(pi)/(2) + 2pi n : - n = 0 : x = -(pi)/(2) — входит. - n = 1 : x = (3pi)/(2) — входит. - n = 2 : x = (7pi)/(2) — исключён (правая граница не входит). - n = -1 : x = -(5pi)/(2) — не входит. Ответ Б): -(pi)/(2);(3pi)/(2) .

А) x=-π/2+2πn, n∈Z; Б) -π/2; 3π/2