Задача №17045

А) Решите уравнение

$$\frac{1-\sin x+\sqrt{3}\sin 2x}{2\sqrt{3}\cos x-3}=\frac{1}{3}+\sin x.$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $\left[-\frac{3\pi }{2};\frac{7\pi }{2}\right)\text{.}$

А) Решение уравнения

$$\frac{1-\sin x+\sqrt{3}\sin 2x}{2\sqrt{3}\cos x-3}=\frac{1}{3}+\sin x.$$

ОДЗ: $2\sqrt{3}\cos x-3\ne 0\text{,}$ то есть $\cos x\ne \frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ то есть $x\ne \pm \frac{\pi }{6}+2\pi n\text{.}$

Умножим обе части на $3(2\sqrt{3}\cos x-3)$ и приведём всё к одной стороне:

$$3(1-\sin x+\sqrt{3}\sin 2x)-(1+3\sin x)(2\sqrt{3}\cos x-3)=0.$$

Используя $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{:}$

$$3-3\sin x+6\sqrt{3}\sin x\cos x-2\sqrt{3}\cos x+3-6\sqrt{3}\sin x\cos x+9\sin x=0.$$

Сокращаем $\pm 6\sqrt{3}\sin x\cos x\text{:}$

$$6+6\sin x-2\sqrt{3}\cos x=0\iff 3+3\sin x=\sqrt{3}\cos x.$$

Перепишем: $\sqrt{3}\cos x-3\sin x=3\text{.}$ Делим на $\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+9}=2\sqrt{3}\text{:}$

$$\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Отсюда $x+\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n\text{,}$ то есть $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n$ или $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n\text{.}$

Корни $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n$ исключаются ОДЗ (там $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$).

Ответ А): $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Б) Корни на промежутке $\left[-\frac{3\pi }{2};\frac{7\pi }{2}\right)$

Из серии $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n\text{:}$

• $n=0\text{:}$ $x=-\frac{\pi }{2}$ — входит.
• $n=1\text{:}$ $x=\frac{3\pi }{2}$ — входит.
• $n=2\text{:}$ $x=\frac{7\pi }{2}$ — исключён (правая граница не входит).
• $n=-1\text{:}$ $x=-\frac{5\pi }{2}$ — не входит.

Ответ Б): $-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\text{.}$