Задача №17044

15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером $A$ миллионов рублей на срок 36 месяцев. Условия возврата кредита таковы:
– 1 числа каждого месяца сумма долга возрастает на $2\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15 декабря 2029 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно $A\text{,}$ если общая сумма платежей в 2027 году составит 4830 тысяч рублей?

Пусть $A$ — сумма кредита (в млн руб.). По условию долг на 15-е число каждого месяца уменьшается на одну и ту же величину, и за $36$ месяцев погашается до нуля. Значит, ежемесячное уменьшение равно $\frac{A}{36}\text{.}$

Обозначим $D_k$ — долг на 15-е число $k$-го месяца после 15 декабря 2026 года, где $k=0,1,2,\dots ,36\text{.}$ Тогда

$$D_k=A\left(1-\frac{k}{36}\right),D_0=A,D_{36}=0.$$

В начале $k$-го месяца ($1$-е число) долг возрастает на $2\%$ и становится $1,02\cdot D_{k-1}\text{.}$ Платёж в этом месяце возвращает долг к $D_k\text{:}$

$$P_k=1,02D_{k-1}-D_k=1,02A\left(1-\frac{k-1}{36}\right)-A\left(1-\frac{k}{36}\right).$$

Преобразуем:

$$P_k=A\left[0,02+\frac{1,02-0,02k}{36}\right].$$

Сумма платежей в 2027 году — это ${\sum }_{k=1}^{12}{P}_k\text{.}$ Раскроем сумму:

$$\sum _{k=1}^{12}{P}_k=A\left[12\cdot 0,02+\frac{1}{36}\sum _{k=1}^{12}(1,02-0,02k)\right].$$

Подсчитаем внутреннюю сумму:

$$\sum _{k=1}^{12}(1,02-0,02k)=12\cdot 1,02-0,02\cdot \frac{12\cdot 13}{2}=12,24-1,56=10,68.$$

Тогда

$$\sum _{k=1}^{12}{P}_k=A\left[0,24+\frac{10,68}{36}\right]=A\left[0,24+\frac{89}{300}\right]=A\cdot \frac{161}{300}.$$

По условию эта сумма равна $4830$ тысяч руб. $=4,83$ млн руб.:

$$A\cdot \frac{161}{300}=4,83\Rightarrow A=\frac{4,83\cdot 300}{161}=\frac{1449}{161}=9.$$

Проверка. При $A=9\text{:}$

$$P_k=9\left[0,02+\frac{1,02-0,02k}{36}\right]=0,18+\frac{1,02-0,02k}{4}=0,435-0,005k.$$

Тогда $P_1=0,430$ млн, $P_{12}=0,375$ млн. Сумма (арифметическая прогрессия):

$$\sum _{k=1}^{12}{P}_k=\frac{12(0,430+0,375)}{2}=6\cdot 0,805=4,83\text{млн руб.}=4830\text{тыс. руб.}✓$$

Ответ: $A=9$ миллионов рублей.