15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером A миллионов рублей на срок 36 месяцев. Условия возврата кредита таковы: – 1 числа каждого месяца сумма долга возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – к 15 декабря 2029 года долг должен быть полностью погашен. Чему равно A , если общая сумма платежей в 2027 году составит 4830 тысяч рублей?

Пусть A — сумма кредита (в млн руб.). По условию долг на 15-е число каждого месяца уменьшается на одну и ту же величину, и за 36 месяцев погашается до нуля. Значит, ежемесячное уменьшение равно (A)/(36) . Обозначим D_k — долг на 15-е число k -го месяца после 15 декабря 2026 года, где k = 0, 1, 2, , 36 . Тогда D_k = A(1 - (k)/(36)), D_0 = A, D_(36) = 0. В начале k -го месяца ( 1 -е число) долг возрастает на 2% и становится 1,02 * D_(k-1) . Платёж в этом месяце возвращает долг к D_k : P_k = 1,02D_(k-1) - D_k = 1,02 A(1 - (k-1)/(36)) - A(1 - (k)/(36)). Преобразуем: P_k = A[0,02 + (1,02 - 0,02 k)/(36)]. Сумма платежей в 2027 году — это _(k=1)^(12) P_k . Раскроем сумму: _(k=1)^(12) P_k = A[12 * 0,02 + (1)/(36)_(k=1)^(12)(1,02 - 0,02 k)]. Подсчитаем внутреннюю сумму: _(k=1)^(12)(1,02 - 0,02 k) = 12 * 1,02 - 0,02 * (12 * 13)/(2) = 12,24 - 1,56 = 10,68. Тогда _(k=1)^(12) P_k = A[0,24 + (10,68)/(36)] = A[0,24 + (89)/(300)] = A * (161)/(300). По условию эта сумма равна 4830 тысяч руб. = 4,83 млн руб.: A * (161)/(300) = 4,83 => A = (4,83 * 300)/(161) = (1449)/(161) = 9. Проверка. При A = 9 : P_k = 9[0,02 + (1,02 - 0,02 k)/(36)] = 0,18 + (1,02 - 0,02 k)/(4) = 0,435 - 0,005 k. Тогда P_1 = 0,430 млн, P_(12) = 0,375 млн. Сумма (арифметическая прогрессия): _(k=1)^(12) P_k = (12(0,430 + 0,375))/(2) = 6 * 0,805 = 4,83 млн руб. = 4830 тыс. руб. Ответ: A = 9 миллионов рублей.

9