Семен Моисеевич 6 марта 2025 года положил на вклад в банке 1 000 000 рублей под 21% годовых. Условия этого вклада таковы: – в течение года запрещается выполнять какие-либо операции с этим вкладом; – 6 марта 2026 года банк увеличит вклад на 21%. Моня Соломонович 6 марта 2025 года положил на вклад в банке также 1 000 000 рублей под r % годовых. Условия этого вклада таковы: – в течение года запрещается выполнять какие-либо операции с этим вкладом; – через каждые 3 месяца (до 6 марта 2026 года) банк увеличивает сумму, к тому моменту находящуюся на вкладе, на (r)/(4)% . Известно, что Моня Соломонович через год получит со счета меньше, чем Семен Моисеевич. Найдите наибольшее целое значение r .

Вклад Семёна Моисеевича Начальная сумма: S_0 = 1000000 руб. под 21% годовых. Через год банк однократно увеличит вклад на 21% , поэтому S_1 = 1000000 * 1,21 = 1210000 руб. Вклад Мони Соломоновича Начальная сумма: M_0 = 1000000 руб. под r% годовых. Каждые 3 месяца банк увеличивает текущую сумму на (r)/(4)% , то есть умножает её на множитель (1 + (r)/(400)) . За год происходит ровно 4 таких капитализации, поэтому через год M_1 = 1000000 * (1 + (r)/(400))^4. Неравенство из условия По условию M_1 < S_1 : 1000000 * (1 + (r)/(400))^4 < 1210000, (1 + (r)/(400))^4 < 1,21. Заметим, что 1,21 = (1,1)^2 , поэтому (1,21)^(1/4) = (1,1)^(1/2) = sqrt(1,1). Извлекая корень четвёртой степени (обе части положительны), получаем равносильное неравенство 1 + (r)/(400) < sqrt(1,1), r < 400(sqrt(1,1) - 1). Оценка верхней границы Покажем, что sqrt(1,1) < 1,05 . В самом деле, 1,05^2 = 1,1025 > 1,1, и поскольку обе части положительны, sqrt(1,1) < 1,05 . Тогда r < 400 * (1,05 - 1) = 400 * 0,05 = 20, и поскольку r — целое, r 19 . Проверка r = 19 (1 + (19)/(400))^4 = (1,0475)^4. Последовательно: (1,0475)^2 = 1,09725625, (1,09725625)^2 = 1,2039717 < 1,21. Значит при r = 19 выполнено M_1 = 1203971,7 < 1210000 = S_1 , то есть условие задачи выполнено. Проверка r = 20 (граница невозможна) (1 + (20)/(400))^4 = (1,05)^4 = (1,1025)^2 = 1,21550625 > 1,21. Значит при r = 20 Моня получит 1215506,25 > 1210000 руб., и условие M_1 < S_1 нарушается. Ответ: r_() = 19 .

19