Задача №17043

Семен Моисеевич 6 марта 2025 года положил на вклад в банке 1 000 000 рублей под 21% годовых. Условия этого вклада таковы:
– в течение года запрещается выполнять какие-либо операции с этим вкладом;
– 6 марта 2026 года банк увеличит вклад на 21%.

Моня Соломонович 6 марта 2025 года положил на вклад в банке также 1 000 000 рублей под $r$% годовых. Условия этого вклада таковы:
– в течение года запрещается выполнять какие-либо операции с этим вкладом;
– через каждые 3 месяца (до 6 марта 2026 года) банк увеличивает сумму, к тому моменту находящуюся на вкладе, на $\frac{r}{4}\%\text{.}$

Известно, что Моня Соломонович через год получит со счета меньше, чем Семен Моисеевич. Найдите наибольшее целое значение $r\text{.}$

Вклад Семёна Моисеевича

Начальная сумма: $S_0=1000000$ руб. под $21\%$ годовых. Через год банк однократно увеличит вклад на $21\%\text{,}$ поэтому

$$S_1=1000000\cdot 1,21=1210000\text{ руб.}$$

Вклад Мони Соломоновича

Начальная сумма: $M_0=1000000$ руб. под $r\%$ годовых. Каждые $3$ месяца банк увеличивает текущую сумму на $\frac{r}{4}\%\text{,}$ то есть умножает её на множитель $\left(1+\frac{r}{400}\right)\text{.}$ За год происходит ровно $4$ таких капитализации, поэтому через год

$$M_1=1000000\cdot {\left(1+\frac{r}{400}\right)}^4.$$

Неравенство из условия

По условию $M_1<S_1\text{:}$

$$1000000\cdot {\left(1+\frac{r}{400}\right)}^4<1210000,$$ $${\left(1+\frac{r}{400}\right)}^4<1,21.$$

Заметим, что $1,21=(1,1{)}^2\text{,}$ поэтому

$${\left(1,21\right)}^{1/4}=(1,1{)}^{1/2}=\sqrt{1,1}.$$

Извлекая корень четвёртой степени (обе части положительны), получаем равносильное неравенство

$$1+\frac{r}{400}<\sqrt{1,1},r<400\left(\sqrt{1,1}-1\right).$$

Оценка верхней границы

Покажем, что $\sqrt{1,1}<1,05\text{.}$ В самом деле,

$$1,05^2=1,1025>1,1,$$

и поскольку обе части положительны, $\sqrt{1,1}<1,05\text{.}$ Тогда

$$r<400\cdot (1,05-1)=400\cdot 0,05=20,$$

и поскольку $r$ — целое, $r⩽19\text{.}$

Проверка $r=19$

$${\left(1+\frac{19}{400}\right)}^4=(1,0475{)}^4.$$

Последовательно:

$$(1,0475{)}^2=1,09725625,$$ $$(1,09725625{)}^2=1,2039717\dots <1,21.$$

Значит при $r=19$ выполнено $M_1=1203971,7\dots <1210000=S_1\text{,}$ то есть условие задачи выполнено.

Проверка $r=20$ (граница невозможна)

$${\left(1+\frac{20}{400}\right)}^4=(1,05{)}^4=(1,1025{)}^2=1,21550625>1,21.$$

Значит при $r=20$ Моня получит $1215506,25>1210000$ руб., и условие $M_1<S_1$ нарушается.

Ответ: $r_{\max }=19\text{.}$