Задача №17040

В трапеции ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны и равны 9 и 12. Найдите длину средней линии трапеции.

Воспользуемся теоремой: в трапеции с перпендикулярными диагоналями длины $d_1$ и $d_2$ средняя линия равна $\frac{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}{2}\text{.}$

Доказательство. Введём систему координат с началом в точке пересечения диагоналей $O\text{,}$ направим оси по диагоналям. Тогда $A(-p,0),C(q,0),B(0,r),D(0,-s)\text{,}$ где $p+q=d_1\text{,}$ $r+s=d_2\text{.}$

Основаниями являются стороны $AD$ и $BC\text{:}$

Из условия $AD\parallel BC$ получаем $\frac{p}{q}=\frac{s}{r}\text{,}$ то есть $pr=qs\text{.}$

Тогда:

откуда $\sqrt{(p^2+s^2)(q^2+r^2)}=pq+rs\text{.}$

Далее:

Средняя линия $m=\frac{|AD|+|BC|}{2}=\frac{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}{2}\text{.}$

Подставляем числа: $d_1=9\text{,}$ $d_2=12\text{:}$

Ответ: $7,5$