В трапеции ABCD диагонали АС и BD перпендикулярны и равны 9 и 12. Найдите длину средней линии трапеции.

Воспользуемся теоремой: в трапеции с перпендикулярными диагоналями длины d_1 и d_2 средняя линия равна (sqrt(d_1^2+d_2^2))/(2) . Доказательство. Введём систему координат с началом в точке пересечения диагоналей O , направим оси по диагоналям. Тогда A(-p,0), C(q,0), B(0,r), D(0,-s) , где p+q=d_1 , r+s=d_2 . Основаниями являются стороны AD и BC : |AD|=sqrt(p^2+s^2), |BC|=sqrt(q^2+r^2). Из условия AD BC получаем (p)/(q)=(s)/(r) , то есть pr=qs . Тогда: (p^2+s^2)(q^2+r^2)=p^2q^2+p^2r^2+q^2s^2+r^2s^2=p^2q^2+2pqrs+r^2s^2=(pq+rs)^2, откуда sqrt((p^2+s^2)(q^2+r^2))=pq+rs . Далее: (|AD|+|BC|)^2=(p^2+s^2)+(q^2+r^2)+2(pq+rs)=(p+q)^2+(r+s)^2=d_1^2+d_2^2. Средняя линия m=(|AD|+|BC|)/(2)=(sqrt(d_1^2+d_2^2))/(2) . Подставляем числа: d_1=9 , d_2=12 : m=(sqrt(81+144))/(2)=(sqrt(225))/(2)=(15)/(2)=7,5. Ответ: 7,5

7,5