Дана правильная треугольная пирамида SABC , AB = 14 . Высота SO , проведённая к основанию, равна 18 , точка D — середина AS , точка E — середина BC . Плоскость, проходящая через точку D и параллельная основанию пирамиды, пересекает рёбра SB и SC в точках F и G соответственно. а) Докажите, что FG проходит через середину отрезка SE . б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью AFG .

Пусть SABC — правильная треугольная пирамида с основанием — равносторонним треугольником ABC со стороной AB = 14 и высотой SO = 18 , где O — центр основания (центроид). D — середина SA , E — середина BC , SE — апофема. Плоскость alpha через D параллельна основанию ABC и пересекает рёбра SB и SC в точках F и G соответственно. а) Так как плоскость alpha параллельна ABC и проходит через середину D ребра SA , по теореме о пропорциональных отрезках на сторонах угла alpha отсекает на каждом боковом ребре отрезок, равный половине: SF = (1)/(2)SB , SG = (1)/(2)SC . Значит, F и G — середины SB и SC . Рассмотрим треугольник SBC . Отрезок FG соединяет середины SB и SC , поэтому FG BC и FG = (1)/(2)BC . В треугольнике SBC точка E — середина BC , а SE — медиана; средняя линия FG пересекает SE в её середине M . Это и означает, что FG проходит через середину отрезка SE , что и требовалось доказать. б) Плоскость AFG содержит точку A и отрезок FG BC . Линия пересечения плоскости AFG с плоскостью основания проходит через A параллельно BC (обозначим её ). В основании высота AE перпендикулярна BC , значит, AE . В плоскости AFG отрезок AM ( M — середина SE ) тоже перпендикулярен (поскольку M лежит над при проекции, что сразу следует из равноудалённости точки A от B и C , и точки M от F и G ). Таким образом, угол MAE — линейный угол двугранного угла между основанием и плоскостью AFG . Обозначим его alpha . Введём координаты в основании: O — начало, E = (OE;0;0) , A = (-AO;0;0) , S = (0;0;18) , где AE = (ABsqrt(3))/(2) = 7sqrt(3), OE = (1)/(3)AE = (7sqrt(3))/(3), AO = (2)/(3)AE = (14sqrt(3))/(3). Точка M = (S+E)/(2) = ((7sqrt(3))/(6);0;9) . Проекция M на основание: M' = ((7sqrt(3))/(6);0;0) . Расстояние от A до M' : AM' = (7sqrt(3))/(6) - (-(14sqrt(3))/(3)) = (7sqrt(3) + 28sqrt(3))/(6) = (35sqrt(3))/(6). Высота точки M над основанием: MM' = 9 . Тогда tg alpha = (MM')/(AM') = (9)/(35sqrt(3)6) = (54)/(35sqrt(3)) = (18sqrt(3))/(35). Ответ: а) доказано б) arctg (18sqrt(3))/(35)

arctg(18√3/35)