Задача №17035

а) Решите уравнение
$(1-\cos 8x)\cdot \mathrm{tg}x=6{\sin }^{2}4x\cdot \mathrm{ctg}x\text{.}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[\frac{\pi }{2};2\pi \right]\text{.}$

а) Перепишем уравнение, применив формулу понижения степени $1-\cos 8x=2{\sin }^{2}4x\text{:}$

$$(1-\cos 8x)\cdot \mathrm{tg}x=6{\sin }^{2}4x\cdot \mathrm{ctg}x\iff (1-\cos 8x)\cdot \mathrm{tg}x=3(1-\cos 8x)\cdot \mathrm{ctg}x.$$

Переносим всё в одну сторону:

$$(1-\cos 8x)(\mathrm{tg}x-3\mathrm{ctg}x)=0.$$

ОДЗ: $\sin x\ne 0$ и $\cos x\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne \frac{\pi m}{2}\text{,}$ где $m\in \mathbb{Z}\text{.}$

Равенство нулю произведения распадается на два случая.

1. $1-\cos 8x=0\iff \cos 8x=1\iff 8x=2\pi k\iff x=\frac{\pi k}{4}\text{,}$ где $k\in \mathbb{Z}\text{.}$
Исключая значения $x=\frac{\pi m}{2}\text{,}$ оставляем только нечётные $k=2n+1\text{,}$ что даёт

$$x=\frac{\pi (2n+1)}{4}=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}.$$

2. $\mathrm{tg}x-3\mathrm{ctg}x=0\iff {\mathrm{tg}}^{2}x=3\iff \mathrm{tg}x=\pm \sqrt{3}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi n\text{,}$ где $n\in \mathbb{Z}\text{.}$
Все эти значения удовлетворяют ОДЗ.

б) Отберем корни из отрезка $\left[\frac{\pi }{2};2\pi \right]\text{.}$

Для серии $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}\text{:}$

$$\frac{\pi }{2}⩽\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}⩽2\pi \iff \frac{1}{2}⩽k⩽\frac{7}{2},k\in \{1;2;3\}.$$

Получаем значения: $\frac{3\pi }{4};\frac{5\pi }{4};\frac{7\pi }{4}\text{.}$

Для серии $x=-\frac{\pi }{3}+\pi n\text{:}$

$$\frac{\pi }{2}⩽-\frac{\pi }{3}+\pi n⩽2\pi \iff \frac{5}{6}⩽n⩽\frac{7}{3},n\in \{1;2\}.$$

Получаем значения: $\frac{2\pi }{3};\frac{5\pi }{3}\text{.}$

Для серии $x=\frac{\pi }{3}+\pi n\text{:}$

$$\frac{\pi }{2}⩽\frac{\pi }{3}+\pi n⩽2\pi \iff \frac{1}{6}⩽n⩽\frac{5}{3},n=1.$$

Получаем значение: $\frac{4\pi }{3}\text{.}$

Ответ:

а) $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}\text{;}$ $\pm \frac{\pi }{3}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{2\pi }{3};\frac{3\pi }{4};\frac{5\pi }{4};\frac{4\pi }{3};\frac{5\pi }{3};\frac{7\pi }{4}$