а) Решите уравнение (1 - cos 8x) * tg x = 6sin^2 4x * ctg x . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ (pi)/(2); 2pi ] .

а) Перепишем уравнение, применив формулу понижения степени 1 - cos 8x = 2sin^2 4x : (1 - cos 8x) * tg x = 6sin^2 4x * ctg x <=> (1 - cos 8x) * tg x = 3(1 - cos 8x) * ctg x. Переносим всё в одну сторону: (1 - cos 8x)(tg x - 3ctg x) = 0. ОДЗ: sin x != 0 и cos x != 0 , то есть x != (pi m)/(2) , где m in Z . Равенство нулю произведения распадается на два случая. 1. 1 - cos 8x = 0 <=> cos 8x = 1 <=> 8x = 2pi k <=> x = (pi k)/(4) , где k in Z . Исключая значения x = (pi m)/(2) , оставляем только нечётные k = 2n + 1 , что даёт x = (pi(2n + 1))/(4) = (pi)/(4) + (pi n)/(2), n in Z. 2. tg x - 3ctg x = 0 <=> tg^2 x = 3 <=> tg x = +-sqrt(3) <=> x = +-(pi)/(3) + pi n , где n in Z . Все эти значения удовлетворяют ОДЗ. б) Отберем корни из отрезка [ (pi)/(2); 2pi ] . Для серии x = (pi)/(4) + (pi k)/(2) : (pi)/(2) (pi)/(4) + (pi k)/(2) 2pi <=> (1)/(2) k (7)/(2), k in 1; 2; 3. Получаем значения: (3pi)/(4); (5pi)/(4); (7pi)/(4) . Для серии x = -(pi)/(3) + pi n : (pi)/(2) -(pi)/(3) + pi n 2pi <=> (5)/(6) n (7)/(3), n in 1; 2. Получаем значения: (2pi)/(3); (5pi)/(3) . Для серии x = (pi)/(3) + pi n : (pi)/(2) (pi)/(3) + pi n 2pi <=> (1)/(6) n (5)/(3), n = 1. Получаем значение: (4pi)/(3) . Ответ: а) (pi)/(4) + (pi n)/(2), n in Z ; +-(pi)/(3) + pi n, n in Z б) (2pi)/(3); (3pi)/(4); (5pi)/(4); (4pi)/(3); (5pi)/(3); (7pi)/(4)

А) x = π/4 + πn/2, n ∈ Z; x = ±π/3 + πn, n ∈ Z. Б) 2π/3; 3π/4; 5π/4; 4π/3; 5π/3; 7π/4.