В правильном тетраэдре ABCD точка K лежит на ребре CB, причём CK : KB = 1 : 2. Точка L лежит на ребре AB, причём AL : LB = 1 : 3. Сечение проходит через точки A и K параллельно DL. а) Докажите, что сечением является равнобедренный треугольник. б) Найдите площадь сечения, если сторона тетраэдра равна 1.

Пусть ребро правильного тетраэдра ABCD равно 3x. Тогда CK = x, BK = 2x (так как CK : KB = 1 : 2); точка L на AB с AL : LB = 1 : 3. Искомая плоскость сечения alpha проходит через A и K, причём DL alpha. а) В плоскости ABC прямые AK и CL пересекаются в точке N (N in AK c alpha). Так как DL alpha и DL c CDL, то линия пересечения CDL n alpha — прямая l, проходящая через N и параллельная DL. Пусть l n CD = M. Тогда сечение тетраэдра — MAK. Для локализации точки M проведём в плоскости ABC прямую LF AK, F in BC. По теореме о пропорциональных отрезках: 1. В угле ABK: (KF)/(BF) = (AL)/(LB) = (1)/(3), откуда KF = (BK)/(4) = (x)/(2). 2. В угле FCL (MN LF, поскольку LF AK и MN — линия пересечения alpha с CDL): (LN)/(CN) = (KF)/(CK) = (x/2)/(x) = (1)/(2). 3. В угле DCL (MN DL): (DM)/(CM) = (LN)/(CN) = (1)/(2), откуда DM = (CD)/(3) = x, CM = 2x. Докажем равнобедренность: ADM и ACK имеют AD = AC = 3x, DM = CK = x, ADM = ACK = 60^ (углы правильного тетраэдра при ребре основания). Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, значит AM = AK. Следовательно, MAK — равнобедренный. б) При 3x = 1 имеем x = (1)/(3). По теореме косинусов в ACK: AK^2 = AC^2 + CK^2 - 2 * AC * CK * cos 60^ = 9x^2 + x^2 - 3x^2 = 7x^2, откуда AK = AM = xsqrt(7). По теореме косинусов в CMK: MK^2 = CM^2 + CK^2 - 2 * CM * CK * cos 60^ = 4x^2 + x^2 - 2x^2 = 3x^2. Пусть MAK = beta. По теореме косинусов в MAK с AM = AK: MK^2 = 2 * AK^2 * (1 - cos beta), то есть 3x^2 = 14x^2(1 - cos beta), откуда cos beta = (11)/(14). Тогда sin beta = sqrt(1 - (121)/(196)) = (5sqrt(3))/(14). Площадь сечения: S_(MAK) = (1)/(2) * AK * AM * sin beta = (AK^2 sin beta)/(2) = (7x^2 * 5sqrt(3)14)/(2) = (5sqrt(3)x^2)/(4). При x = (1)/(3): S_(MAK) = (5sqrt(3))/(4 * 9) = (5sqrt(3))/(36). Ответ: (5sqrt(3))/(36).

$\dfrac{5\sqrt{3}}{36}$