Задача №17028

На рисунке изображён график функции $y=f(x)\text{,}$ определённой на интервале $(-1;11)\text{.}$ Найдите число точек графика, в каждой из которых касательная к нему параллельна прямой $y=\frac{2025}{2026}$ или совпадает с ней.

На рисунке: волнообразный график функции, определённой на $(-1;11)\text{,}$ с несколькими локальными экстремумами и участками убывания/возрастания. График пересекает значение $y=\frac{2025}{2026}\approx 1$ несколько раз. Нужно посчитать число точек на графике, где касательная горизонтальна (имеет наклон, близкий к $1\text{,}$ но фактически прямая $y=\frac{2025}{2026}$ горизонтальна, поэтому надо считать локальные экстремумы — точки с нулевой производной — где значение функции совпадает с $\frac{2025}{2026}$ или пересекает его).

Прямая $y=\frac{2025}{2026}$ — горизонтальная (её угловой коэффициент равен нулю). Касательная к графику параллельна этой прямой (или совпадает с ней) только в тех точках, где производная функции равна нулю — то есть в точках локальных экстремумов.

По графику видно, что функция имеет локальные экстремумы в точках с абсциссами

$$x=3,4,5,6,7,9,10.$$

Это три «ямки» и два «бугорка» в средней волнистой части, большой максимум справа и последний минимум перед правым концом промежутка. Всего таких точек 7.

Ответ: $7$