В треугольнике ABC BC=8, AC=7 проведена биссектриса BE, которая пересекает сторону AC в точке E, причём известно, что центр O вписанной в треугольник ABC окружности делит BE в отношении BO:OE=2:1.
а) Докажите, что сторона AB делится точкой касания вписанной окружности в отношении 5:7, считая от точки A.
б) Найдите площадь треугольника ABC.
а) Используем известный факт: центр O вписанной окружности треугольника лежит на биссектрисе угла B и делит отрезок биссектрисы от вершины B до её пересечения со стороной AC в отношении
OEBO=ba+c,где a=BC, b=AC, c=AB (формула вытекает из того, что точка O является точкой пересечения биссектрис треугольника).
По условию OEBO=12, a=8 и b=7. Подставим данные значения:
78+c=2⇔8+c=14⇔c=6.Значит, AB=6.
Вычислим полупериметр треугольника:
p=26+8+7=221.Длины отрезков от вершин до точек касания вписанной окружности равны:
1. От вершины A: p−a=221−8=25;
2. От вершины B: p−b=221−7=27;
3. От вершины C: p−c=221−6=29.
Точка касания на стороне AB делит её на отрезки 25 (от точки A) и 27 (от точки B). Их отношение:
7/25/2=75,то есть 5:7, считая от точки A. Что и требовалось доказать.
б) По формуле Герона площадь треугольника равна:
S=p(p−a)(p−b)(p−c)=221⋅25⋅27⋅29=4121⋅5⋅7⋅9.Преобразуем подкоренное выражение:
21⋅5⋅7⋅9=3⋅7⋅5⋅7⋅9=72⋅32⋅3⋅5=212⋅15.Тогда
S=42115.Проверка через теорему косинусов:
cosA=2bcb2+c2−a2=2⋅7⋅649+36−64=8421=41.Тогда sinA=1−161=415. Площадь:
S=21bcsinA=21⋅7⋅6⋅415=42115.Ответ: 42115.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Ларин