а) Решите уравнение sin^2((2025pi)/(2) + x) + sin(x + (2026pi)/(2)) = 2cos^2 x - (3)/(2)sin x - 1 . б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [(5pi)/(2); 4pi] .

Задача №17020: Уравнения

а) Упростим аргументы тригонометрических функций.

Заметим, что $\frac{2025 π}{2} = 1012 π + \frac{π}{2} .$ Так как функция $sin$ имеет период $2 π,$ то

sin (\frac{2025 π}{2} + x) = sin (\frac{π}{2} + x) = cos x .

Следовательно, $sin^{2} (\frac{2025 π}{2} + x) = cos^{2} x .$

Далее, $\frac{2026 π}{2} = 1013 π,$ а

sin (x + 1013 π) = sin (x + π) = - sin x .

Тогда исходное уравнение принимает вид:

cos^{2} x - sin x = 2 cos^{2} x - \frac{3}{2} sin x - 1.

Перегруппируем слагаемые:

cos^{2} x - \frac{1}{2} sin x - 1 = 0.

Используя основное тригонометрическое тождество $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x,$ получим:

1 - sin^{2} x - \frac{1}{2} sin x - 1 = 0 \Rightarrow - sin^{2} x - \frac{1}{2} sin x = 0;

sin x (sin x + \frac{1}{2}) = 0.

Рассмотрим два случая:

1. $sin x = 0 \Rightarrow x = π n, n \in Z .$
2. $sin x = - \frac{1}{2} \Rightarrow x = - \frac{π}{6} + 2 π k$ или $x = \frac{7 π}{6} + 2 π k, k \in Z .$

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку $[\frac{5 π}{2}; 4 π] .$

Для удобства переведём границы отрезка к знаменателю $6 :$ $\frac{5 π}{2} = \frac{15 π}{6}$ и $4 π = \frac{24 π}{6} .$

Рассмотрим серию $x = π n :$

при $n = 3 :$ $x = 3 π = \frac{18 π}{6} \in [\frac{15 π}{6}; \frac{24 π}{6}];$
при $n = 4 :$ $x = 4 π = \frac{24 π}{6} \in [\frac{15 π}{6}; \frac{24 π}{6}] .$

Рассмотрим серию $x = - \frac{π}{6} + 2 π k :$

при $k = 2 :$ $x = - \frac{π}{6} + 4 π = \frac{23 π}{6} \in [\frac{15 π}{6}; \frac{24 π}{6}] .$

Рассмотрим серию $x = \frac{7 π}{6} + 2 π k :$

при $k = 1 :$ $x = \frac{7 π}{6} + 2 π = \frac{19 π}{6} \in [\frac{15 π}{6}; \frac{24 π}{6}] .$

Выпишем найденные корни в порядке возрастания: $3 π;$ $\frac{19 π}{6};$ $\frac{23 π}{6};$ $4 π .$

Ответ:

а) $π n; - \frac{π}{6} + 2 π k; \frac{7 π}{6} + 2 π k, n, k \in Z$

б) $3 π; \frac{19 π}{6}; \frac{23 π}{6}; 4 π$

а) Упростим аргументы тригонометрических функций.

Заметим, что $\frac{2025 π}{2} = 1012 π + \frac{π}{2} .$ Так как функция $sin$ имеет период $2 π,$ то

sin (\frac{2025 π}{2} + x) = sin (\frac{π}{2} + x) = cos x .

Следовательно, $sin^{2} (\frac{2025 π}{2} + x) = cos^{2} x .$

Далее, $\frac{2026 π}{2} = 1013 π,$ а

sin (x + 1013 π) = sin (x + π) = - sin x .

Тогда исходное уравнение принимает вид:

cos^{2} x - sin x = 2 cos^{2} x - \frac{3}{2} sin x - 1.

Перегруппируем слагаемые:

cos^{2} x - \frac{1}{2} sin x - 1 = 0.

Используя основное тригонометрическое тождество $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x,$ получим:

1 - sin^{2} x - \frac{1}{2} sin x - 1 = 0 \Rightarrow - sin^{2} x - \frac{1}{2} sin x = 0;

sin x (sin x + \frac{1}{2}) = 0.

Рассмотрим два случая:

1. $sin x = 0 \Rightarrow x = π n, n \in Z .$
2. $sin x = - \frac{1}{2} \Rightarrow x = - \frac{π}{6} + 2 π k$ или $x = \frac{7 π}{6} + 2 π k, k \in Z .$

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку $[\frac{5 π}{2}; 4 π] .$

Для удобства переведём границы отрезка к знаменателю $6 :$ $\frac{5 π}{2} = \frac{15 π}{6}$ и $4 π = \frac{24 π}{6} .$

Рассмотрим серию $x = π n :$

при $n = 3 :$ $x = 3 π = \frac{18 π}{6} \in [\frac{15 π}{6}; \frac{24 π}{6}];$
при $n = 4 :$ $x = 4 π = \frac{24 π}{6} \in [\frac{15 π}{6}; \frac{24 π}{6}] .$

Рассмотрим серию $x = - \frac{π}{6} + 2 π k :$

при $k = 2 :$ $x = - \frac{π}{6} + 4 π = \frac{23 π}{6} \in [\frac{15 π}{6}; \frac{24 π}{6}] .$

Рассмотрим серию $x = \frac{7 π}{6} + 2 π k :$

при $k = 1 :$ $x = \frac{7 π}{6} + 2 π = \frac{19 π}{6} \in [\frac{15 π}{6}; \frac{24 π}{6}] .$

Выпишем найденные корни в порядке возрастания: $3 π;$ $\frac{19 π}{6};$ $\frac{23 π}{6};$ $4 π .$

Ответ:

а) $π n; - \frac{π}{6} + 2 π k; \frac{7 π}{6} + 2 π k, n, k \in Z$

б) $3 π; \frac{19 π}{6}; \frac{23 π}{6}; 4 π$

Задача №17020

Задача #17020

Решай похожие задачи

Информация

Задача №17020

Задача #17020

Решай похожие задачи

Информация

Задача #17020

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #17020

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация