а) Решите уравнение sin^2((2025pi)/(2) + x) + sin(x + (2026pi)/(2)) = 2cos^2 x - (3)/(2)sin x - 1 . б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [(5pi)/(2); 4pi] .

а) Упростим аргументы тригонометрических функций. Заметим, что (2025pi)/(2) = 1012pi + (pi)/(2) . Так как функция sin имеет период 2pi , то sin((2025pi)/(2) + x) = sin((pi)/(2) + x) = cos x. Следовательно, sin^2((2025pi)/(2) + x) = cos^2 x . Далее, (2026pi)/(2) = 1013pi , а sin(x + 1013pi) = sin(x + pi) = -sin x. Тогда исходное уравнение принимает вид: cos^2 x - sin x = 2cos^2 x - (3)/(2)sin x - 1. Перегруппируем слагаемые: cos^2 x - (1)/(2)sin x - 1 = 0. Используя основное тригонометрическое тождество cos^2 x = 1 - sin^2 x , получим: 1 - sin^2 x - (1)/(2)sin x - 1 = 0 => -sin^2 x - (1)/(2)sin x = 0; sin x (sin x + (1)/(2)) = 0. Рассмотрим два случая: 1. sin x = 0 => x = pi n, n in Z . 2. sin x = -(1)/(2) => x = -(pi)/(6) + 2pi k или x = (7pi)/(6) + 2pi k, k in Z . б) Найдем корни, принадлежащие отрезку [(5pi)/(2); 4pi] . Для удобства переведём границы отрезка к знаменателю 6 : (5pi)/(2) = (15pi)/(6) и 4pi = (24pi)/(6) . Рассмотрим серию x = pi n : - при n = 3 : x = 3pi = (18pi)/(6) in [ (15pi)/(6); (24pi)/(6) ] ; - при n = 4 : x = 4pi = (24pi)/(6) in [ (15pi)/(6); (24pi)/(6) ] . Рассмотрим серию x = -(pi)/(6) + 2pi k : - при k = 2 : x = -(pi)/(6) + 4pi = (23pi)/(6) in [ (15pi)/(6); (24pi)/(6) ] . Рассмотрим серию x = (7pi)/(6) + 2pi k : - при k = 1 : x = (7pi)/(6) + 2pi = (19pi)/(6) in [ (15pi)/(6); (24pi)/(6) ] . Выпишем найденные корни в порядке возрастания: 3pi ; (19pi)/(6) ; (23pi)/(6) ; 4pi . Ответ: а) pi n; -(pi)/(6) + 2pi k; (7pi)/(6) + 2pi k, n, k in Z б) 3pi; (19pi)/(6); (23pi)/(6); 4pi

3pi; 19pi/6; 23pi/6; 4pi