Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение (8sin^4 x)^5 = (4sin x + a)^5 + 5(4sin x + a) - 40sin^4 x имеет хотя бы один корень.

Перепишем уравнение в виде (8sin^4 x)^5 + 5(8sin^4 x) = (4sin x + a)^5 + 5(4sin x + a) и рассмотрим функцию f(t) = t^5 + 5t . Тогда уравнение принимает вид f(8sin^4 x) = f(4sin x + a). Так как f'(t) = 5t^4 + 5 > 0 при всех t , функция f строго монотонно возрастает на R . Значит, уравнение равносильно 8sin^4 x = 4sin x + a, или a = 8t^4 - 4t, где t = sin x in [-1; 1] . Исследуем функцию g(t) = 8t^4 - 4t на [-1; 1] . Уравнение a = g(t) имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда a принадлежит области значений g на [-1; 1] . Производная g'(t) = 32t^3 - 4 = 4(8t^3 - 1) обращается в нуль при t = (1)/(2) . 1. При t in [-1; (1)/(2)] : g'(t) 0 , g убывает. 2. При t in [(1)/(2); 1] : g'(t) 0 , g возрастает. Значит, точка t = (1)/(2) — точка минимума: _([-1; 1]) g(t) = g((1)/(2)) = 8 * (1)/(16) - 4 * (1)/(2) = (1)/(2) - 2 = -(3)/(2). Значения на концах: g(-1) = 8 + 4 = 12 , g(1) = 8 - 4 = 4 . Поэтому _([-1; 1]) g(t) = g(-1) = 12. Итак, E_g = [-(3)/(2); 12] . Ответ: a in [-(3)/(2); 12] .

$\left[-\dfrac{3}{2};\ 12\right]$