Задача №17019

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$(8{\sin }^{4}x{)}^5=(4\sin x+a{)}^5+5(4\sin x+a)-40{\sin }^{4}x$$

имеет хотя бы один корень.

Перепишем уравнение в виде

$$(8{\sin }^{4}x{)}^5+5(8{\sin }^{4}x)=(4\sin x+a{)}^5+5(4\sin x+a)$$

и рассмотрим функцию $f(t)=t^5+5t\text{.}$ Тогда уравнение принимает вид

$$f(8{\sin }^{4}x)=f(4\sin x+a).$$

Так как $f^{\prime }(t)=5t^4+5>0$ при всех $t\text{,}$ функция $f$ строго монотонно возрастает на $\mathbb{R}\text{.}$ Значит, уравнение равносильно

$$8{\sin }^{4}x=4\sin x+a,\text{или}a=8t^4-4t,$$

где $t=\sin x\in [-1;1]\text{.}$

Исследуем функцию $g(t)=8t^4-4t$ на $[-1;1]\text{.}$ Уравнение $a=g(t)$ имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда $a$ принадлежит области значений $g$ на $[-1;1]\text{.}$

Производная $g^{\prime }(t)=32t^3-4=4(8t^3-1)$ обращается в нуль при $t=\frac{1}{2}\text{.}$

1. При $t\in \left[-1;\frac{1}{2}\right]\text{:}$ $g^{\prime }(t)⩽0\text{,}$ $g$ убывает.
2. При $t\in \left[\frac{1}{2};1\right]\text{:}$ $g^{\prime }(t)⩾0\text{,}$ $g$ возрастает.

Значит, точка $t=\frac{1}{2}$ — точка минимума:

$$\underset{[-1;1]}{\min }g(t)=g\left(\frac{1}{2}\right)=8\cdot \frac{1}{16}-4\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}.$$

Значения на концах: $g(-1)=8+4=12\text{,}$ $g(1)=8-4=4\text{.}$ Поэтому

$$\underset{[-1;1]}{\max }g(t)=g(-1)=12.$$

Итак, $E_g=\left[-\frac{3}{2};12\right]\text{.}$

Ответ: $a\in \left[-\frac{3}{2};12\right]\text{.}$