Задача №17016

Пусть дана равнобедренная трапеция с основаниями $a$ (нижнее) и $b$ (верхнее) и высотой $h\text{.}$

Опустим высоту из конца верхнего основания на нижнее. Тогда горизонтальная проекция диагонали (расстояние от вершины нижнего основания до проекции противоположной вершины верхнего основания) равна:

$$\frac{a-b}{2}+b=\frac{a+b}{2}.$$

Поскольку диагональ образует с основанием угол $45^{\circ }\text{,}$ в прямоугольном треугольнике, образованном высотой и проекцией диагонали, катеты равны:

$$\frac{a+b}{2}=h.$$

Длина диагонали $d$ находится по теореме Пифагора:

$$d=\sqrt{{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2+h^2}=\sqrt{h^2+h^2}=h\sqrt{2}.$$

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$$S=\frac{a+b}{2}\cdot h=h\cdot h=h^2.$$

По условию $S=2026\text{,}$ следовательно:

$$h^2=2026\Rightarrow h=\sqrt{2026}.$$

Тогда длина диагонали:

$$d=\sqrt{2026}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{4052}=2\sqrt{1013}.$$

В ответе необходимо указать значение $d\cdot \sqrt{1013}\text{:}$

$$2\sqrt{1013}\cdot \sqrt{1013}=2\cdot 1013=2026.$$

Ответ: 2026