Задача №17014

В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна $4\sqrt{3}\text{,}$ а высота равна $8\text{.}$ Через высоту пирамиды проведена плоскость. Найдите наименьшую площадь сечения пирамиды такой плоскостью.

Высота пирамиды $H=8$ проходит через центр $O$ правильного шестиугольного основания. Плоскость сечения содержит высоту, значит, она проходит через вершину $S$ и через прямую в плоскости основания, проходящую через $O\text{.}$ Эта прямая пересекает основание (правильный шестиугольник) по хорде $XY\text{,}$ проходящей через центр $O\text{.}$

Сечение — треугольник $SXY\text{.}$ Поскольку $SO\perp \text{плоскости основания}$ и $O\in XY\text{,}$ то $SO$ — высота треугольника $SXY\text{,}$ опущенная на сторону $XY\text{.}$ Площадь треугольника:

Площадь сечения будет минимальной, когда длина хорды $XY\text{,}$ проходящей через центр шестиугольника, минимальна. В правильном шестиугольнике со стороной $a=4\sqrt{3}\text{:}$
1. Максимальная хорда через центр (большая диагональ, соединяющая противоположные вершины) равна $2a=8\sqrt{3}\text{.}$
2. Минимальная хорда через центр (расстояние между серединами противоположных сторон) равна $2r\text{,}$ где $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=6$ — радиус вписанной окружности (апофема основания).

Таким образом, $X{Y}_{\min }=2\cdot 6=12\text{.}$

Найдем наименьшую площадь сечения:

Ответ: 48