В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 4sqrt(3) , а высота равна 8 . Через высоту пирамиды проведена плоскость. Найдите наименьшую площадь сечения пирамиды такой плоскостью.

Высота пирамиды H = 8 проходит через центр O правильного шестиугольного основания. Плоскость сечения содержит высоту, значит, она проходит через вершину S и через прямую в плоскости основания, проходящую через O . Эта прямая пересекает основание (правильный шестиугольник) по хорде XY , проходящей через центр O . Сечение — треугольник SXY . Поскольку SO плоскости основания и O in XY , то SO — высота треугольника SXY , опущенная на сторону XY . Площадь треугольника: S_(SXY) = (1)/(2) * XY * SO = (1)/(2) * XY * 8 = 4XY. Площадь сечения будет минимальной, когда длина хорды XY , проходящей через центр шестиугольника, минимальна. В правильном шестиугольнике со стороной a = 4sqrt(3) : 1. Максимальная хорда через центр (большая диагональ, соединяющая противоположные вершины) равна 2a = 8sqrt(3) . 2. Минимальная хорда через центр (расстояние между серединами противоположных сторон) равна 2r , где r = (asqrt(3))/(2) = (4sqrt(3) * sqrt(3))/(2) = 6 — радиус вписанной окружности (апофема основания). Таким образом, XY_() = 2 * 6 = 12 . Найдем наименьшую площадь сечения: S_() = 4 * 12 = 48. Ответ: 48

48