а) Решите уравнение 3ctg x + (1)/(cos x) = tg x + (sqrt(3))/(sin x) . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ -(pi)/(2); (7pi)/(6) ] .

ОДЗ: sin x != 0 и cos x != 0 . Используем ctg x = (cos x)/(sin x) и tg x = (sin x)/(cos x) . Умножим обе части уравнения на sin x cos x (на ОДЗ это выражение отлично от нуля): 3cos^2 x + sin x = sin^2 x + sqrt(3)cos x. Перегруппируем слагаемые: (3cos^2 x - sin^2 x) - (sqrt(3)cos x - sin x) = 0. Разложим выражение в первой скобке как разность квадратов: 3cos^2 x - sin^2 x = (sqrt(3)cos x - sin x)(sqrt(3)cos x + sin x) . Тогда уравнение принимает вид: (sqrt(3)cos x - sin x)(sqrt(3)cos x + sin x - 1) = 0. Рассмотрим два случая: 1. sqrt(3)cos x - sin x = 0 . Разделим обе части на cos x != 0 : tg x = sqrt(3) , откуда x = (pi)/(3) + pi k , k in Z . 2. sqrt(3)cos x + sin x = 1 . Разделим обе части на 2 : (sqrt(3))/(2)cos x + (1)/(2)sin x = (1)/(2) , то есть cos(x - (pi)/(6)) = (1)/(2) . Отсюда x - (pi)/(6) = +-(pi)/(3) + 2pi n . Получаем две серии корней: x = (pi)/(2) + 2pi n или x = -(pi)/(6) + 2pi n , n in Z . Проверка ОДЗ: при x = (pi)/(2) + 2pi n значение cos x = 0 , что противоречит ОДЗ. Эти корни являются посторонними. Остальные найденные значения удовлетворяют условиям sin x != 0 и cos x != 0 . б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [ -(pi)/(2); (7pi)/(6) ] . 1. Серия x = (pi)/(3) + pi k : - при k = 0 имеем x = (pi)/(3) in [ -(pi)/(2); (7pi)/(6) ] ; - при k = -1 имеем x = -(2pi)/(3) not in [ -(pi)/(2); (7pi)/(6) ] ; - при k = 1 имеем x = (4pi)/(3) not in [ -(pi)/(2); (7pi)/(6) ] . 2. Серия x = -(pi)/(6) + 2pi n : - при n = 0 имеем x = -(pi)/(6) in [ -(pi)/(2); (7pi)/(6) ] ; - при остальных n корни не попадают в заданный отрезок. Ответ: а) (pi)/(3) + pi k, k in Z ; -(pi)/(6) + 2pi n, n in Z б) -(pi)/(6) ; (pi)/(3)

А) $x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k$, $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$, $k, n \in \mathbb{Z}$; Б) $-\dfrac{\pi}{6}$; $\dfrac{\pi}{3}$.