Задача №17013

а) Решите уравнение
$3\mathrm{ctg}x+\frac{1}{\cos x}=\mathrm{tg}x+\frac{\sqrt{3}}{\sin x}\text{.}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[-\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6}\right]\text{.}$

ОДЗ: $\sin x\ne 0$ и $\cos x\ne 0\text{.}$

Используем $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$ и $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}\text{.}$ Умножим обе части уравнения на $\sin x\cos x$ (на ОДЗ это выражение отлично от нуля):

$$3{\cos }^{2}x+\sin x={\sin }^{2}x+\sqrt{3}\cos x.$$

Перегруппируем слагаемые:

$$(3{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)-(\sqrt{3}\cos x-\sin x)=0.$$

Разложим выражение в первой скобке как разность квадратов: $3{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=(\sqrt{3}\cos x-\sin x)(\sqrt{3}\cos x+\sin x)\text{.}$ Тогда уравнение принимает вид:

$$(\sqrt{3}\cos x-\sin x)(\sqrt{3}\cos x+\sin x-1)=0.$$

Рассмотрим два случая:

1. $\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\text{.}$ Разделим обе части на $\cos x\ne 0\text{:}$ $\mathrm{tg}x=\sqrt{3}\text{,}$ откуда $x=\frac{\pi }{3}+\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

2. $\sqrt{3}\cos x+\sin x=1\text{.}$ Разделим обе части на $2\text{:}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=\frac{1}{2}\text{,}$ то есть $\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}\text{.}$ Отсюда $x-\frac{\pi }{6}=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n\text{.}$
Получаем две серии корней: $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$ или $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{,}$ $n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Проверка ОДЗ: при $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$ значение $\cos x=0\text{,}$ что противоречит ОДЗ. Эти корни являются посторонними. Остальные найденные значения удовлетворяют условиям $\sin x\ne 0$ и $\cos x\ne 0\text{.}$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6}\right]\text{.}$

1. Серия $x=\frac{\pi }{3}+\pi k\text{:}$

• при $k=0$ имеем $x=\frac{\pi }{3}\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6}\right]\text{;}$
• при $k=-1$ имеем $x=-\frac{2\pi }{3}\notin \left[-\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6}\right]\text{;}$
• при $k=1$ имеем $x=\frac{4\pi }{3}\notin \left[-\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6}\right]\text{.}$

2. Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{:}$

• при $n=0$ имеем $x=-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6}\right]\text{;}$
• при остальных $n$ корни не попадают в заданный отрезок.

Ответ:

а) $\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{;}$ $-\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

б) $-\frac{\pi }{6}\text{;}$ $\frac{\pi }{3}$