Найдите значение выражения (sin^4 pi14 + cos^4 pi14 + 2sin^2 pi14 cos^2 pi14)/(sin^6 pi14 + cos^6 pi14 + 3sin^2 pi14 cos^2 pi14).

Пусть s = sin^2 (pi)/(14) , c = cos^2 (pi)/(14) . Согласно основному тригонометрическому тождеству, s + c = 1 . Числитель: sin^4 (pi)/(14) + cos^4 (pi)/(14) + 2sin^2 (pi)/(14) cos^2 (pi)/(14) = s^2 + c^2 + 2sc = (s + c)^2 = 1. Знаменатель: sin^6 (pi)/(14) + cos^6 (pi)/(14) + 3sin^2 (pi)/(14) cos^2 (pi)/(14) = s^3 + c^3 + 3sc. Используем формулу суммы кубов: s^3 + c^3 = (s + c)(s^2 - sc + c^2) = (s + c)((s + c)^2 - 3sc) = 1 * (1 - 3sc) = 1 - 3sc. Следовательно, знаменатель равен: (1 - 3sc) + 3sc = 1. Итого значение выражения равно (1)/(1) = 1 . Ответ: 1.

1