Задача №17011

Найдите значение выражения

$$\frac{{\sin }^4\frac{\pi }{14}+{\cos }^4\frac{\pi }{14}+2{\sin }^2\frac{\pi }{14}{\cos }^2\frac{\pi }{14}}{{\sin }^6\frac{\pi }{14}+{\cos }^6\frac{\pi }{14}+3{\sin }^2\frac{\pi }{14}{\cos }^2\frac{\pi }{14}}.$$

Пусть $s={\sin }^2\frac{\pi }{14}\text{,}$ $c={\cos }^2\frac{\pi }{14}\text{.}$ Согласно основному тригонометрическому тождеству, $s+c=1\text{.}$

Числитель:

$${\sin }^4\frac{\pi }{14}+{\cos }^4\frac{\pi }{14}+2{\sin }^2\frac{\pi }{14}{\cos }^2\frac{\pi }{14}=s^2+c^2+2sc=(s+c{)}^2=1.$$

Знаменатель:

$${\sin }^6\frac{\pi }{14}+{\cos }^6\frac{\pi }{14}+3{\sin }^2\frac{\pi }{14}{\cos }^2\frac{\pi }{14}=s^3+c^3+3sc.$$

Используем формулу суммы кубов:

$$s^3+c^3=(s+c)(s^2-sc+c^2)=(s+c)((s+c{)}^2-3sc)=1\cdot (1-3sc)=1-3sc.$$

Следовательно, знаменатель равен:

$$(1-3sc)+3sc=1.$$

Итого значение выражения равно $\frac{1}{1}=1\text{.}$

Ответ: 1.