Задача №17010

В решающей серии пенальти футбольный вратарь имеет следующую статистику: вероятность отразить удар, если бьёт обычный игрок, равна $0,3\text{;}$ вероятность отразить удар, если бьёт специалист по пенальти, равна $0,2\text{.}$ Известно, что в команде соперника 4 обычных игрока и 1 специалист.

Тренер соперника выбирает бьющего случайным образом из 5 доступных игроков. Серия состоит из двух ударов (выбор игрока для каждого удара происходит случайно и с возвращением, то есть один и тот же игрок может бить оба раза).

Какова вероятность того, что вратарь сможет отразить оба удара в этой серии?

Пусть $H_1$ — событие «бьёт обычный игрок», $H_2$ — «бьёт специалист». По условию

$$P(H_1)=\frac{4}{5},P(H_2)=\frac{1}{5}.$$

Вероятность отразить один отдельно взятый удар по формуле полной вероятности:

$$P(\text{отразил один удар})=P(H_1)\cdot 0,3+P(H_2)\cdot 0,2=\frac{4}{5}\cdot 0,3+\frac{1}{5}\cdot 0,2=0,24+0,04=0,28.$$

Так как два удара независимы (выбор с возвращением), вероятность того, что вратарь отразит оба удара, равна:

$$0,28^2=0,0784.$$

Ответ: $0,0784\text{.}$