Задача №17009

Решите неравенство
$10\cdot 3^{({\log }_3({\log }_{2}x){)}^2}⩽{\log }_2^{3}x+({\log }_{2}x{)}^{{\log }_3({\log }_{2}x)}\text{.}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x>0\text{,}$ ${\log }_{2}x>0\iff x>1\text{.}$

Обозначим $u={\log }_{2}x$ (тогда $u>0$) и $v={\log }_{3}u\text{.}$ Тогда $u=3^v\text{.}$

Выполним ключевые преобразования:
1. $3^{v^2}=(3^v{)}^v=u^v\text{,}$ то есть $3^{({\log }_3({\log }_{2}x){)}^2}=u^v\text{;}$
2. $({\log }_{2}x{)}^{{\log }_3({\log }_{2}x)}=u^v\text{;}$
3. ${\log }_2^{3}x=u^3\text{.}$

Неравенство принимает вид:

Подставим $u=3^v\text{:}$

Значит, $1⩽v⩽2\text{.}$ Перейдем к переменной $x\text{:}$

Все полученные значения удовлетворяют условию $x>1\text{.}$

Ответ: $[8;512]\text{.}$