Задача №17008

На рисунке изображены графики функций $f(x)=a^{x+b}$ и $g(x)=\frac{7}{12}x+c\text{,}$ которые пересекаются в точках $A$ и $B\text{.}$ Найдите ординату точки $B\text{.}$

По рисунку определяем координаты точки $A$ — она находится в правом верхнем углу графика и имеет координаты $A(4;4)\text{.}$ Также по графику видно, что график функции $f(x)$ проходит через точку $(0;1)\text{.}$

1. Найдём параметры $a$ и $b$ функции $f(x)=a^{x+b}\text{.}$

Из условия $f(0)=1\text{:}$

поскольку $a>0\text{,}$ $a\ne 1\text{.}$

Из условия $f(4)=4\text{:}$

Значит, $f(x)=(\sqrt{2}{)}^x=2^{x/2}\text{.}$

2. Найдём $c$ из того, что прямая проходит через точку $A\text{:}$

Итак, $g(x)=\frac{7}{12}x+\frac{5}{3}\text{.}$

3. Найдём вторую точку пересечения $B\text{.}$ Уравнение пересечения:

Один корень мы знаем — это $x=4$ (точка $A$). Поскольку показательная функция растёт быстрее линейной, второй корень должен находиться в области $x<0\text{.}$ Подберём целые значения. При $x=-2\text{:}$

— левая часть: $2^{-1}=\frac{1}{2}\text{;}$

— правая часть: $\frac{7}{12}\cdot (-2)+\frac{5}{3}=-\frac{7}{6}+\frac{10}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\text{.}$

Значения совпали, значит, точка $B$ имеет координаты $\left(-2;\frac{1}{2}\right)\text{.}$

Проверка по угловому коэффициенту прямой $AB\text{:}$

Ответ: 0,5