Задача №17004

В треугольнике $ABC$ медиана $AK\text{,}$ биссектриса $BL$ и высота $CM$ пересекаются в одной точке $P\text{.}$ Известно, что $CP=5\text{,}$ $PM=3\text{.}$

а) Докажите, что $BC\parallel ML\text{.}$
б) Найдите площадь треугольника $ABC\text{.}$

Пусть в треугольнике $ABC$ медиана $AK\text{,}$ биссектриса $BL$ и высота $CM$ пересекаются в точке $P\text{.}$ По условию $CP=5\text{,}$ $PM=3\text{,}$ тогда $CM=CP+PM=5+3=8\text{.}$

Пусть $\angle ABC=2\beta \text{.}$ Тогда $\angle MBP=\angle PBC=\beta \text{,}$ так как $BP$ — часть биссектрисы $BL\text{.}$

1. Нахождение $BC\text{.}$
В прямоугольном треугольнике $MBC$ ($\angle BMC=90^{\circ }$) биссектриса $BP$ делит угол $\angle MBC$ пополам. По свойству биссектрисы в треугольнике $MBC\text{:}$

$$\frac{MP}{PC}=\frac{BM}{BC}=\cos 2\beta =\frac{3}{5}.$$

Значит,

$$\sin 2\beta =\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}.$$

С другой стороны,

$$\frac{CM}{BC}=\sin 2\beta =\frac{4}{5},$$

откуда $BC=10\text{.}$ Тогда $BM=BC\cdot \cos 2\beta =10\cdot \frac{3}{5}=6\text{.}$

2. Нахождение $PK\text{.}$
Так как $AK$ — медиана, то $K$ — середина $BC\text{,}$ значит, $CK=BK=5\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $MBC\text{:}$

$$\cos \angle MCB=\frac{CM}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}.$$

По теореме косинусов в треугольнике $CPK\text{:}$

$$P{K}^2=C{P}^2+C{K}^2-2\cdot CP\cdot CK\cdot \cos \angle PCK=25+25-2\cdot 5\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=10.$$

Следовательно, $PK=\sqrt{10}\text{.}$

3. Нахождение $AM\text{.}$
По свойству биссектрисы $BP$ в треугольнике $ABK\text{:}$

$$\frac{AP}{PK}=\frac{AB}{BK}=\frac{AB}{5}\Rightarrow AP=\frac{AB\cdot \sqrt{10}}{5}.$$

Так как $AB=AM+MB=AM+6\text{,}$ имеем

$$A{P}^2=\frac{10(AM+6{)}^2}{25}=\frac{2(AM+6{)}^2}{5}.$$

В прямоугольном треугольнике $APM$ ($\angle AMP=90^{\circ }$):

$$A{P}^2=A{M}^2+P{M}^2\Rightarrow \frac{2(AM+6{)}^2}{5}=A{M}^2+9.$$ $$2(A{M}^2+12AM+36)=5A{M}^2+45\iff 3A{M}^2-24AM-27=0\iff A{M}^2-8AM-9=0.$$

Корни уравнения: $AM=9$ или $AM=-1\text{.}$ Очевидно, $AM=9\text{.}$

4. Нахождение площади.
Так как $AB=AM+MB=9+6=15\text{,}$ площадь треугольника $ABC\text{:}$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CM=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 8=60.$$

а) Доказательство $BC\parallel ML\text{.}$
По свойству биссектрисы $BL$ в треугольнике $ABC\text{:}$

$$\frac{AL}{LC}=\frac{AB}{BC}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2},\text{ откуда }\frac{AL}{AC}=\frac{3}{5}.$$

С другой стороны, $\frac{AM}{AB}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\text{.}$ Значит, $\frac{AM}{AB}=\frac{AL}{AC}\text{.}$ Так как угол $\angle BAC$ общий, треугольники $AML$ и $ABC$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Из подобия следует $\angle AML=\angle ABC\text{,}$ следовательно, $ML\parallel BC$ по признаку параллельности прямых.

Ответ:

б) 60.