В треугольнике ABC медиана AK , биссектриса BL и высота CM пересекаются в одной точке P . Известно, что CP = 5 , PM = 3 . а) Докажите, что BC ML . б) Найдите площадь треугольника ABC .

Пусть в треугольнике ABC медиана AK , биссектриса BL и высота CM пересекаются в точке P . По условию CP = 5 , PM = 3 , тогда CM = CP + PM = 5 + 3 = 8 . Пусть ABC = 2beta . Тогда MBP = PBC = beta , так как BP — часть биссектрисы BL . 1. Нахождение BC . В прямоугольном треугольнике MBC ( BMC = 90^ ) биссектриса BP делит угол MBC пополам. По свойству биссектрисы в треугольнике MBC : (MP)/(PC) = (BM)/(BC) = cos 2beta = (3)/(5). Значит, sin 2beta = sqrt(1 - ((3)/(5))^2) = (4)/(5). С другой стороны, (CM)/(BC) = sin 2beta = (4)/(5), откуда BC = 10 . Тогда BM = BC * cos 2beta = 10 * (3)/(5) = 6 . 2. Нахождение PK . Так как AK — медиана, то K — середина BC , значит, CK = BK = 5 . В прямоугольном треугольнике MBC : cos MCB = (CM)/(BC) = (8)/(10) = (4)/(5). По теореме косинусов в треугольнике CPK : PK^2 = CP^2 + CK^2 - 2 * CP * CK * cos PCK = 25 + 25 - 2 * 5 * 5 * (4)/(5) = 10. Следовательно, PK = sqrt(10) . 3. Нахождение AM . По свойству биссектрисы BP в треугольнике ABK : (AP)/(PK) = (AB)/(BK) = (AB)/(5) => AP = (AB * sqrt(10))/(5). Так как AB = AM + MB = AM + 6 , имеем AP^2 = (10(AM + 6)^2)/(25) = (2(AM + 6)^2)/(5). В прямоугольном треугольнике APM ( AMP = 90^ ): AP^2 = AM^2 + PM^2 => (2(AM + 6)^2)/(5) = AM^2 + 9. 2(AM^2 + 12AM + 36) = 5AM^2 + 45 <=> 3AM^2 - 24AM - 27 = 0 <=> AM^2 - 8AM - 9 = 0. Корни уравнения: AM = 9 или AM = -1 . Очевидно, AM = 9 . 4. Нахождение площади. Так как AB = AM + MB = 9 + 6 = 15 , площадь треугольника ABC : S_(ABC) = (1)/(2) * AB * CM = (1)/(2) * 15 * 8 = 60. а) Доказательство BC ML . По свойству биссектрисы BL в треугольнике ABC : (AL)/(LC) = (AB)/(BC) = (15)/(10) = (3)/(2), откуда (AL)/(AC) = (3)/(5). С другой стороны, (AM)/(AB) = (9)/(15) = (3)/(5) . Значит, (AM)/(AB) = (AL)/(AC) . Так как угол BAC общий, треугольники AML и ABC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Из подобия следует AML = ABC , следовательно, ML BC по признаку параллельности прямых. Ответ: б) 60.

$S_{ABC} = 60$