Найдите наименьшее значение функции y = x^2 + (16)/(x^2) на отрезке [1; 4] .

Найдем наименьшее значение функции y(x) = x^2 + (16)/(x^2) на отрезке [1; 4] . **Способ 1 — через производную.** Найдем критические точки. Вычислим производную: y'(x) = 2x - (32)/(x^3) = (2x^4 - 32)/(x^3) = (2(x^4 - 16))/(x^3). Приравняем производную к нулю: x^4 = 16 <=> x = +- 2 . На отрезке [1; 4] лежит точка x = 2 . Проверим знаки y' на [1; 4] : 1. При x in (1; 2) : x^4 < 16 , значит, y' < 0 — функция убывает. 2. При x in (2; 4) : x^4 > 16 , значит, y' > 0 — функция возрастает. Следовательно, x = 2 — точка минимума на [1; 4] . Вычисляем значение функции в этой точке: y(2) = 2^2 + (16)/(2^2) = 4 + 4 = 8. **Способ 2 — неравенство Коши.** Для положительных a и b справедливо неравенство a + b 2sqrt(ab) . Применим его к a = x^2 и b = (16)/(x^2) : x^2 + (16)/(x^2) 2sqrt(x^2 * (16)/(x^2)) = 2 * 4 = 8. Равенство достигается, когда x^2 = (16)/(x^2) <=> x^4 = 16 <=> x = 2 in [1; 4] . Значит, минимум достигается и равен 8 . Для полноты сравним со значениями на концах: y(1) = 1 + 16 = 17 , y(4) = 16 + 1 = 17 . Оба значения больше 8 . Ответ: 8.

8