Задача №17003

Найдите наименьшее значение функции $y=x^2+\frac{16}{x^2}$ на отрезке $[1;4]\text{.}$

Найдем наименьшее значение функции $y(x)=x^2+\frac{16}{x^2}$ на отрезке $[1;4]\text{.}$

Способ 1 — через производную.
Найдем критические точки. Вычислим производную:

Приравняем производную к нулю:
$x^4=16\iff x=\pm 2\text{.}$

На отрезке $[1;4]$ лежит точка $x=2\text{.}$

Проверим знаки $y^{\prime }$ на $[1;4]\text{:}$
1. При $x\in (1;2)\text{:}$ $x^4<16\text{,}$ значит, $y^{\prime }<0$ — функция убывает.
2. При $x\in (2;4)\text{:}$ $x^4>16\text{,}$ значит, $y^{\prime }>0$ — функция возрастает.

Следовательно, $x=2$ — точка минимума на $[1;4]\text{.}$

Вычисляем значение функции в этой точке:

Способ 2 — неравенство Коши.
Для положительных $a$ и $b$ справедливо неравенство $a+b⩾2\sqrt{ab}\text{.}$ Применим его к $a=x^2$ и $b=\frac{16}{x^2}\text{:}$

Равенство достигается, когда $x^2=\frac{16}{x^2}\iff x^4=16\iff x=2\in [1;4]\text{.}$ Значит, минимум достигается и равен $8\text{.}$

Для полноты сравним со значениями на концах: $y(1)=1+16=17\text{,}$ $y(4)=16+1=17\text{.}$ Оба значения больше $8\text{.}$

Ответ: 8.