Найдите периметр трапеции ABCD , изображённой на рисунке, если AD = 15 .

Из рисунка следует, что ABCD — равнобедренная трапеция ( BC AD , AB = CD ) с углами 30^ при вершине B и 60^ при вершине D . 1. Опустим высоты BH_1 и CH_2 на основание AD . В прямоугольном треугольнике ABH_1 угол при A равен 60^ (как смежный с углом B = 30^ при боковой стороне равнобедренной трапеции). Значит, ABH_1 — прямоугольный треугольник с углами 30^ – 60^ – 90^ , и аналогично DCH_2 . 2. Обозначим BC = x . Тогда AH_1 = DH_2 , причём в треугольнике с углами 30^ – 60^ – 90^ короткий катет AH_1 = (1)/(2) AB . Из равнобедренности и условия BC AD получаем AH_1 = DH_2 = x (это вытекает из того, что EOA COB — равнобедренные с боковой стороной x ). Тогда AB = CD = 2x , AD = AH_1 + BC + H_2D = 3x . 3. По условию AD = 15 , откуда x = 5 . Значит, BC = 5 , AB = CD = 10 . 4. Периметр: P_(ABCD) = AD + AB + BC + CD = 15 + 10 + 5 + 10 = 40. Ответ: 40 .

40