Задача №17000

Найдите периметр трапеции $ABCD\text{,}$ изображённой на рисунке, если $AD=15\text{.}$

Из рисунка следует, что $ABCD$ — равнобедренная трапеция ($BC\parallel AD\text{,}$ $AB=CD$) с углами $30^{\circ }$ при вершине $B$ и $60^{\circ }$ при вершине $D\text{.}$

1. Опустим высоты $B{H}_1$ и $C{H}_2$ на основание $AD\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $AB{H}_1$ угол при $A$ равен $60^{\circ }$ (как смежный с углом $B=30^{\circ }$ при боковой стороне равнобедренной трапеции). Значит, $△AB{H}_1$ — прямоугольный треугольник с углами $30^{\circ }$–$60^{\circ }$–$90^{\circ }\text{,}$ и аналогично $△DC{H}_2\text{.}$

2. Обозначим $BC=x\text{.}$ Тогда $A{H}_1=D{H}_2\text{,}$ причём в треугольнике с углами $30^{\circ }$–$60^{\circ }$–$90^{\circ }$ короткий катет $A{H}_1=\frac{1}{2}AB\text{.}$ Из равнобедренности и условия $BC\parallel AD$ получаем $A{H}_1=D{H}_2=x$ (это вытекает из того, что $△EOA\cong △COB$ — равнобедренные с боковой стороной $x$). Тогда $AB=CD=2x\text{,}$ $AD=A{H}_1+BC+H_{2}D=3x\text{.}$

3. По условию $AD=15\text{,}$ откуда $x=5\text{.}$ Значит, $BC=5\text{,}$ $AB=CD=10\text{.}$

4. Периметр:

Ответ: $40\text{.}$