Найдите наименьшее значение функции y = |x^2 + 2x - 3| + (3)/(2)ln x на отрезке [ (1)/(2); 2 ] .

Раскроем модуль: x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3) . На отрезке [ (1)/(2); 2 ] множитель x + 3 > 0 , поэтому знак выражения определяется множителем (x - 1) . Рассмотрим случай, когда x in [ (1)/(2); 1 ] . В этом случае |x^2 + 2x - 3| = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3 . Тогда функция имеет вид: y(x) = -x^2 - 2x + 3 + (3)/(2)ln x. Найдём производную: y'(x) = -2x - 2 + (3)/(2x) = (-4x^2 - 4x + 3)/(2x). Найдём корни числителя: 4x^2 + 4x - 3 = 0 => x = (-4 +- 8)/(8) => x_1 = (1)/(2), x_2 = -(3)/(2). На интервале ( (1)/(2); 1 ) производная y'(x) < 0 , следовательно, функция убывает. Рассмотрим случай, когда x in [1; 2] . В этом случае |x^2 + 2x - 3| = x^2 + 2x - 3 . Тогда функция имеет вид: y(x) = x^2 + 2x - 3 + (3)/(2)ln x. Найдём производную: y'(x) = 2x + 2 + (3)/(2x). Так как x > 0 , то на промежутке [1; 2] производная y'(x) > 0 , следовательно, функция возрастает. Минимум функции достигается в точке x = 1 : y(1) = |1^2 + 2 * 1 - 3| + (3)/(2)ln 1 = 0 + 0 = 0. Ответ: 0

0