Задача №16998

Найдите наименьшее значение функции
$y=|x^2+2x-3|+\frac{3}{2}\ln x$
на отрезке $\left[\frac{1}{2};2\right]\text{.}$

Раскроем модуль: $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)\text{.}$ На отрезке $\left[\frac{1}{2};2\right]$ множитель $x+3>0\text{,}$ поэтому знак выражения определяется множителем $(x-1)\text{.}$

Рассмотрим случай, когда $x\in \left[\frac{1}{2};1\right]\text{.}$ В этом случае $|x^2+2x-3|=-(x^2+2x-3)=-x^2-2x+3\text{.}$ Тогда функция имеет вид:

Найдём производную:

Найдём корни числителя:

На интервале $\left(\frac{1}{2};1\right)$ производная $y^{\prime }(x)<0\text{,}$ следовательно, функция убывает.

Рассмотрим случай, когда $x\in [1;2]\text{.}$ В этом случае $|x^2+2x-3|=x^2+2x-3\text{.}$ Тогда функция имеет вид:

Найдём производную:

Так как $x>0\text{,}$ то на промежутке $[1;2]$ производная $y^{\prime }(x)>0\text{,}$ следовательно, функция возрастает.

Минимум функции достигается в точке $x=1\text{:}$

Ответ: 0