Задача №16992

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ $AB=\sqrt{7}\text{,}$ $BC=4\text{,}$ $A{A}_1=3\text{.}$ Через центр грани $A{A}_1{D}_{1}D$ перпендикулярно диагонали $B{D}_1$ проходит плоскость $\alpha \text{,}$ которая пересекает прямую $A_1{B}_1$ в точке $N\text{.}$

а) Докажите, что $B_{1}N:N{A}_1=3:1\text{.}$
б) Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью $ABC\text{.}$

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $A\text{:}$ $A(0;0;0)\text{,}$ $B(\sqrt{7};0;0)\text{,}$ $C(\sqrt{7};4;0)\text{,}$ $D(0;4;0)\text{,}$ $A_1(0;0;3)\text{,}$ $B_1(\sqrt{7};0;3)\text{,}$ $C_1(\sqrt{7};4;3)\text{,}$ $D_1(0;4;3)\text{.}$

а) Пусть $M$ — центр грани $A{A}_1{D}_{1}D\text{.}$ Координаты центра:
$M\left(0;2;\frac{3}{2}\right)\text{.}$

Вектор $\overrightarrow{B{D}_1}=(0-\sqrt{7};4-0;3-0)=(-\sqrt{7};4;3)$ является нормалью к плоскости $\alpha \text{.}$

Уравнение плоскости $\alpha \text{:}$

$$-\sqrt{7}(x-0)+4(y-2)+3\left(z-\frac{3}{2}\right)=0,$$ $$-\sqrt{7}x+4y+3z=12,5.$$

Прямая $A_1{B}_1$ задаётся параметрически: $(t\sqrt{7};0;3)\text{,}$ где параметр $t=0$ соответствует точке $A_1\text{,}$ а $t=1$ — точке $B_1\text{.}$ Подставим координаты точки прямой в уравнение плоскости:

$$-\sqrt{7}\cdot t\sqrt{7}+4\cdot 0+3\cdot 3=12,5\Rightarrow -7t+9=12,5\Rightarrow t=-\frac{1}{2}.$$

Следовательно, точка $N$ лежит на продолжении отрезка $A_1{B}_1$ за точку $A_1\text{.}$ Найдём расстояния:

$$N{A}_1=|t-0|\cdot |\overrightarrow{A_1{B}_1}|=\frac{1}{2}\sqrt{7},$$ $$B_{1}N=|t-1|\cdot |\overrightarrow{A_1{B}_1}|=\frac{3}{2}\sqrt{7}.$$

Отсюда $B_{1}N:N{A}_1=\frac{3\sqrt{7}}{2}:\frac{\sqrt{7}}{2}=3:1\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ (плоскость $z=0$) — это угол $\theta$ между их нормалями $\overrightarrow{n_1}=(-\sqrt{7};4;3)$ и $\overrightarrow{n_2}=(0;0;1)\text{:}$

$$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|3|}{\sqrt{7+16+9}\cdot 1}=\frac{3}{\sqrt{32}}=\frac{3\sqrt{2}}{8}.$$

Найдём значение тангенса:

$$\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{1-\frac{9}{32}}=\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{32}},$$ $$\mathrm{tg}\theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{32}}\cdot \frac{\sqrt{32}}{3}=\frac{\sqrt{23}}{3}.$$

Ответ:

б) $\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{23}}{3}\text{.}$