В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 AB = sqrt(7) , BC = 4 , AA_1 = 3 . Через центр грани AA_1D_1D перпендикулярно диагонали BD_1 проходит плоскость alpha , которая пересекает прямую A_1B_1 в точке N . а) Докажите, что B_1N : NA_1 = 3 : 1 . б) Найдите угол между плоскостью alpha и плоскостью ABC .

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке A : A(0; 0; 0) , B(sqrt(7); 0; 0) , C(sqrt(7); 4; 0) , D(0; 4; 0) , A_1(0; 0; 3) , B_1(sqrt(7); 0; 3) , C_1(sqrt(7); 4; 3) , D_1(0; 4; 3) . а) Пусть M — центр грани AA_1D_1D . Координаты центра: M(0; 2; (3)/(2)) . Вектор BD_1 = (0 - sqrt(7); 4 - 0; 3 - 0) = (-sqrt(7); 4; 3) является нормалью к плоскости alpha . Уравнение плоскости alpha : -sqrt(7)(x - 0) + 4(y - 2) + 3(z - (3)/(2)) = 0, -sqrt(7)x + 4y + 3z = 12,5. Прямая A_1B_1 задаётся параметрически: (tsqrt(7); 0; 3) , где параметр t = 0 соответствует точке A_1 , а t = 1 — точке B_1 . Подставим координаты точки прямой в уравнение плоскости: -sqrt(7) * tsqrt(7) + 4 * 0 + 3 * 3 = 12,5 => -7t + 9 = 12,5 => t = -(1)/(2). Следовательно, точка N лежит на продолжении отрезка A_1B_1 за точку A_1 . Найдём расстояния: NA_1 = |t - 0| * |A_1B_1| = (1)/(2)sqrt(7), B_1N = |t - 1| * |A_1B_1| = (3)/(2)sqrt(7). Отсюда B_1N : NA_1 = (3sqrt(7))/(2) : (sqrt(7))/(2) = 3 : 1 , что и требовалось доказать. б) Угол между плоскостями alpha и ABC (плоскость z = 0 ) — это угол между их нормалями n_1 = (-sqrt(7); 4; 3) и n_2 = (0; 0; 1) : cos = (|n_1 * n_2|)/(|n_1| * |n_2|) = (|3|)/(sqrt(7 + 16 + 9) * 1) = (3)/(sqrt(32)) = (3sqrt(2))/(8). Найдём значение тангенса: sin = sqrt(1 - cos^2) = sqrt(1 - (9)/(32)) = (sqrt(23))/(sqrt(32)), tg = (sin)/(cos) = (sqrt(23))/(sqrt(32)) * (sqrt(32))/(3) = (sqrt(23))/(3). Ответ: б) arctg(sqrt(23))/(3) .

arctan(√23/3)