Точка P — середина ребра AD куба ABCDA_1B_1C_1D_1 . а) Докажите, что середина ребра DC принадлежит плоскости (A_1C_1P) . б) Найдите расстояние от середины ребра AB до плоскости (A_1C_1P) , если длина ребра куба равна 3.

Пусть M — середина ребра DC , N — середина ребра AB , длина ребра куба 2a . а) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке A , оси x , y , z вдоль рёбер AD , AB , AA_1 . Тогда P(a,0,0), A_1(2a,0,2a), C_1(0,2a,2a), M(0,a,0), N(2a,a,0). Составим уравнение плоскости (A_1C_1P) через три точки: vmatrix x - a & y & z a & 0 & 2a -a & 2a & 2a vmatrix = 0 <=> vmatrix x - a & y & z 1 & 0 & 2 -1 & 2 & 2 vmatrix = 0. Раскрытие определителя даёт уравнение плоскости (A_1C_1P): 2x + 2y - z - 2a = 0. Координаты точки M(0, a, 0) : 2 * 0 + 2 * a - 0 - 2a = 0 . Точка удовлетворяет уравнению, значит M in (A_1C_1P) . Что и требовалось доказать. б) По формуле расстояния от точки до плоскости: (N, (A_1C_1P)) = (|2 * 2a + 2 * a - 0 - 2a|)/(sqrt(2^2 + 2^2 + (-1)^2)) = (4|a|)/(3). По условию 2a = 3 , поэтому a = (3)/(2) и (N, (A_1C_1P)) = (4a)/(3) = (6)/(3) = 2. Ответ: б) 2 .

б) $2$