Задача №16990

Точка $P$ — середина ребра $AD$ куба $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1\text{.}$

а) Докажите, что середина ребра $DC$ принадлежит плоскости $(A_1{C}_{1}P)\text{.}$
б) Найдите расстояние от середины ребра $AB$ до плоскости $(A_1{C}_{1}P)\text{,}$ если длина ребра куба равна 3.

Пусть $M$ — середина ребра $DC\text{,}$ $N$ — середина ребра $AB\text{,}$ длина ребра куба $2a\text{.}$

а) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $A\text{,}$ оси $x\text{,}$ $y\text{,}$ $z$ вдоль рёбер $AD\text{,}$ $AB\text{,}$ $A{A}_1\text{.}$ Тогда

$$P(a,0,0),A_1(2a,0,2a),C_1(0,2a,2a),M(0,a,0),N(2a,a,0).$$

Составим уравнение плоскости $(A_1{C}_{1}P)$ через три точки:

$$\left|\begin{array}{ccc}x-a& y& z\\ a& 0& 2a\\ -a& 2a& 2a\end{array}\right|=0\iff \left|\begin{array}{ccc}x-a& y& z\\ 1& 0& 2\\ -1& 2& 2\end{array}\right|=0.$$

Раскрытие определителя даёт уравнение плоскости

$$(A_1{C}_{1}P):2x+2y-z-2a=0.$$

Координаты точки $M(0,a,0)\text{:}$ $2\cdot 0+2\cdot a-0-2a=0\text{.}$ Точка удовлетворяет уравнению, значит $M\in (A_1{C}_{1}P)\text{.}$ Что и требовалось доказать.

б) По формуле расстояния от точки до плоскости:

$$\rho (N,(A_1{C}_{1}P))=\frac{|2\cdot 2a+2\cdot a-0-2a|}{\sqrt{2^2+2^2+(-1{)}^2}}=\frac{4|a|}{3}.$$

По условию $2a=3\text{,}$ поэтому $a=\frac{3}{2}$ и

$$\rho (N,(A_1{C}_{1}P))=\frac{4a}{3}=\frac{6}{3}=2.$$

Ответ:

б) $2\text{.}$