Александр задумал натуральное число a и посчитал сумму его цифр, эту сумму он обозначил b. Затем он посчитал сумму цифр числа b и обозначил её через c. Оказалось, что среди чисел a, b и c нет одинаковых.
А) Может ли a+b+c=3000?
Б) Может ли a+b+c=2000?
В) Сколько существует четырёхзначных чисел a, для которых c=4?
А) Может ли a+b+c=3000?
Да. Возьмём a=2974. Сумма цифр: b=2+9+7+4=22. Сумма цифр числа b: c=2+2=4. Числа a,b,c попарно различны, и a+b+c=2974+22+4=3000.
Б) Может ли a+b+c=2000?
Нет. Натуральное число и сумма его цифр сравнимы по модулю 3 (известный признак делимости): a≡b≡c(mod3). Значит, a+b+c≡3a≡0(mod3). Но 2000 не делится на 3 (2+0+0+0=2), противоречие.
В) Сколько четырёхзначных чисел a, для которых c=4?
Аналогично пункту Б, a≡b≡c(mod9). Значит, a≡4(mod9).
Четырёхзначных чисел a∈[1000;9999] всего 9000. Так как 9000 делится на 9, в каждом из остатков 0,1,…,8 ровно 1000 чисел. В частности, чисел a≡4(mod9) ровно 1000.
Условие c=4 при a≡4(mod9) означает, что сумма цифр числа b равна 4. Сумма цифр b сама равна 4, только если b∈{4,13,22,31} (при больших b, кратных ≡4(mod9), сумма цифр уже не равна 4, см. ниже; например, b=40 даёт сумму 4, но b - сумма цифр четырёхзначного числа, b⩽36; b=4,13,22,31 - единственные кандидаты в [1;36] с суммой цифр 4).
Но есть тонкость: по условию a,b,c попарно различны. В случае b=4 получаем b=c=4, что нарушает условие. Значит, надо исключить случай b=4.
Если же b∈{13,22,31} — все различные числа, и c=4=b, a=b (так как a четырёхзначное, a=b автоматически), a=c (по тем же причинам).
Значит, нужно из 1000 четырёхзначных чисел с a≡4(mod9) исключить те, у которых сумма цифр равна 4 (то есть b=4). Подсчитаем такие числа.
Четырёхзначное число с суммой цифр 4 имеет первую цифру ⩾1. Перечислим возможные мультимножества цифр {c1,c2,c3,c4}, где c1⩾1 и c1+c2+c3+c4=4, остальные цифры ∈{0,…,9}:
| Мультимножество цифр | Кол-во четырёхзначных чисел |
|---|---|
| {4,0,0,0} | 1 (4000) |
| {3,1,0,0} | (13)⋅2=6 (3 позиции для 1, 0 — 2 позиции — нет, проще: 2!4!=12 перестановок, но первая цифра =0. Из 12 перестановок ровно те, что начинаются с 0, — это 2!3!=3; чисел =12−3=9. Но в первой цифре должна быть либо 3, либо 1. Если 3 на первом месте — оставшиеся {1,0,0} — 3 варианта; если 1 на первом месте — оставшиеся {3,0,0} — 3 варианта. Итого 6.) |
| {2,2,0,0} | 3 (первая цифра — одна из двух двоек, далее {2,0,0}, 2!3!=3 варианта) |
| {2,1,1,0} | 9 (если первая =2: оставшиеся {1,1,0} — 3 варианта; если первая =1: оставшиеся {2,1,0} — 6 вариантов; итого 9) |
| {1,1,1,1} | 1 (1111) |
Всего: 1+6+3+9+1=20.
Значит, искомое количество =1000−20=980.
Ответ:
А) Да
Б) Нет
В) 980
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
Ларин