Александр задумал натуральное число a и посчитал сумму его цифр, эту сумму он обозначил b . Затем он посчитал сумму цифр числа b и обозначил её через c . Оказалось, что среди чисел a , b и c нет одинаковых. А) Может ли a + b + c = 3000 ? Б) Может ли a + b + c = 2000 ? В) Сколько существует четырёхзначных чисел a , для которых c = 4 ?

А) Может ли a + b + c = 3000 ? Да. Возьмём a = 2974 . Сумма цифр: b = 2 + 9 + 7 + 4 = 22 . Сумма цифр числа b : c = 2 + 2 = 4 . Числа a, b, c попарно различны, и a + b + c = 2974 + 22 + 4 = 3000 . Б) Может ли a + b + c = 2000 ? Нет. Натуральное число и сумма его цифр сравнимы по модулю 3 (известный признак делимости): a === b === c +-od3 . Значит, a + b + c === 3a === 0 +-od3 . Но 2000 не делится на 3 ( 2 + 0 + 0 + 0 = 2 ), противоречие. В) Сколько четырёхзначных чисел a , для которых c = 4 ? Аналогично пункту Б, a === b === c +-od9 . Значит, a === 4 +-od9 . Четырёхзначных чисел a in [1000;9999] всего 9000 . Так как 9000 делится на 9 , в каждом из остатков 0, 1, , 8 ровно 1000 чисел. В частности, чисел a === 4 +-od9 ровно 1000 . Условие c = 4 при a === 4 +-od9 означает, что сумма цифр числа b равна 4 . Сумма цифр b сама равна 4 , только если b in 4, 13, 22, 31 (при больших b , кратных === 4 +-od9 , сумма цифр уже не равна 4 , см. ниже; например, b = 40 даёт сумму 4 , но b — сумма цифр четырёхзначного числа, b 36 ; b = 4, 13, 22, 31 — единственные кандидаты в [1; 36] с суммой цифр 4 ). Но есть тонкость: по условию a, b, c попарно различны. В случае b = 4 получаем b = c = 4 , что нарушает условие. Значит, надо исключить случай b = 4 . Если же b in 13, 22, 31 — все различные числа, и c = 4 != b , a != b (так как a четырёхзначное, a != b автоматически), a != c (по тем же причинам). Значит, нужно из 1000 четырёхзначных чисел с a === 4 +-od9 исключить те, у которых сумма цифр равна 4 (то есть b = 4 ). Подсчитаем такие числа. Четырёхзначное число с суммой цифр 4 имеет первую цифру 1 . Перечислим возможные мультимножества цифр c_1, c_2, c_3, c_4 , где c_1 1 и c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 4 , остальные цифры in 0,,9 : | Мультимножество цифр | Кол-во четырёхзначных чисел | |---|---| | 4,0,0,0 | 1 (4000) | | 3,1,0,0 | 31* 2 = 6 (3 позиции для 1, 0 — 2 позиции — нет, проще: (4!)/(2!) = 12 перестановок, но первая цифра != 0 . Из 12 перестановок ровно те, что начинаются с 0 , — это (3!)/(2!) = 3 ; чисел = 12 - 3 = 9 . Но в первой цифре должна быть либо 3 , либо 1 . Если 3 на первом месте — оставшиеся 1,0,0 — 3 варианта; если 1 на первом месте — оставшиеся 3,0,0 — 3 варианта. Итого 6 .) | | 2,2,0,0 | 3 (первая цифра — одна из двух двоек, далее 2,0,0 , (3!)/(2!) = 3 варианта) | | 2,1,1,0 | 9 (если первая = 2 : оставшиеся 1,1,0 — 3 варианта; если первая = 1 : оставшиеся 2,1,0 — 6 вариантов; итого 9 ) | | 1,1,1,1 | 1 (1111) | Всего: 1 + 6 + 3 + 9 + 1 = 20 . Значит, искомое количество = 1000 - 20 = 980 . Ответ: А) Да Б) Нет В) 980

А) Да; Б) Нет; В) 980