15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей на 11 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – 15-го числа 10-го месяца долг составит 200 тысяч рублей; – к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r , если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1021 тысячу рублей.

Обозначим k = 1 + (r)/(100) . По условию, начальная сумма долга (15 декабря) — S_0 = 900 тыс. руб. Пусть S_i — долг на 15-е число i -го месяца ( i = 1, , 11 ). Дано: - S_1, S_2, , S_(10) — арифметическая прогрессия (одинаковое уменьшение каждый месяц); - S_(10) = 200 , S_(11) = 0 . Значит, начиная с S_0 = 900 до S_(10) = 200 долг убывает на одну и ту же величину d = (S_0 - S_(10))/(10) = (900 - 200)/(10) = 70 тыс. руб. Таким образом, S_i = 900 - 70i для i = 0, 1, , 10 . Выплаты по месяцам. В i -м месяце: - 1-го числа: долг становится S_(i-1) * k ; - к 15-му числу долг должен стать S_i ; - выплата за месяц: V_i = S_(i-1) * k - S_i = S_(i-1) * (r)/(100) + (S_(i-1) - S_i) . Для i = 1, , 10 : S_(i-1) - S_i = 70 , поэтому V_i = (r)/(100) S_(i-1) + 70 . В 11-м месяце S_(10) = 200 возрастает до 200k и полностью выплачивается, то есть V_(11) = 200k = 200 + (r)/(100) * 200 . Сумма выплат: _(i=1)^(11) V_i = _(i=1)^(10)((r)/(100)S_(i-1) + 70) + 200 + (r)/(100)* 200 = (r)/(100)(_(i=0)^(9)S_i + 200) + 700 + 200. Сумма S_0 + S_1 + + S_9 — арифметическая прогрессия с a_1 = 900 , a_(10) = 270 : _(i=0)^(9) S_i = (900 + 270)/(2) * 10 = 5850. Значит V_i = (r)/(100)(5850 + 200) + 900 = (r)/(100) * 6050 + 900. Иначе говоря, общая переплата V_i - 900 = (r)/(100) * 6050 . То же самое можно записать симметрично: _(i=0)^(10) S_i = (900 + 200)/(2) * 11 = 6050 . Это и есть среднее значение долга за 11 «начислений». По условию V_i = 1021 , значит, (r)/(100) * 6050 = 1021 - 900 = 121 = (121 * 100)/(6050) = 2. Ответ: r = 2 .

2