Задача №16987

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– 15-го числа 10-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
– к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r\text{,}$ если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1021 тысячу рублей.

Обозначим $k=1+\frac{r}{100}\text{.}$ По условию, начальная сумма долга (15 декабря) — $S_0=900$ тыс. руб. Пусть $S_i$ — долг на 15-е число $i$-го месяца ($i=1,\dots ,11$). Дано:

• $S_1,S_2,\dots ,S_{10}$ — арифметическая прогрессия (одинаковое уменьшение каждый месяц);
• $S_{10}=200\text{,}$ $S_{11}=0\text{.}$

Значит, начиная с $S_0=900$ до $S_{10}=200$ долг убывает на одну и ту же величину

$$d=\frac{S_0-S_{10}}{10}=\frac{900-200}{10}=70\text{ тыс. руб.}$$

Таким образом, $S_i=900-70i$ для $i=0,1,\dots ,10\text{.}$

Выплаты по месяцам. В $i$-м месяце:

• 1-го числа: долг становится $S_{i-1}\cdot k\text{;}$
• к 15-му числу долг должен стать $S_i\text{;}$
• выплата за месяц: $V_i=S_{i-1}\cdot k-S_i=S_{i-1}\cdot \frac{r}{100}+(S_{i-1}-S_i)\text{.}$

Для $i=1,\dots ,10\text{:}$ $S_{i-1}-S_i=70\text{,}$ поэтому $V_i=\frac{r}{100}{S}_{i-1}+70\text{.}$

В 11-м месяце $S_{10}=200$ возрастает до $200k$ и полностью выплачивается, то есть $V_{11}=200k=200+\frac{r}{100}\cdot 200\text{.}$

Сумма выплат:

$$\sum _{i=1}^{11}{V}_i=\sum _{i=1}^{10}\left(\frac{r}{100}{S}_{i-1}+70\right)+200+\frac{r}{100}\cdot 200=\frac{r}{100}\left(\sum _{i=0}^9{S}_i+200\right)+700+200.$$

Сумма $S_0+S_1+\cdots +S_9$ — арифметическая прогрессия с $a_1=900\text{,}$ $a_{10}=270\text{:}$

$$\sum _{i=0}^9{S}_i=\frac{900+270}{2}\cdot 10=5850.$$

Значит

$$\sum V_i=\frac{r}{100}(5850+200)+900=\frac{r}{100}\cdot 6050+900.$$

Иначе говоря, общая переплата $\sum V_i-900=\frac{r}{100}\cdot 6050\text{.}$

То же самое можно записать симметрично: ${\sum }_{i=0}^{10}{S}_i=\frac{900+200}{2}\cdot 11=6050\text{.}$ Это и есть среднее значение долга за 11 «начислений».

По условию $\sum V_i=1021\text{,}$ значит,

$$\frac{r}{100}\cdot 6050=1021-900=121⟹r=\frac{121\cdot 100}{6050}=2.$$

Ответ: $r=2\text{.}$