В турнире по футболу на кубок Содружества участвовали 6 команд из России и 12 команд из других стран СНГ. При победе в матче команда получала 2 очка, в случае ничьей 1 очко, при поражении 0 очков. После окончания турнира оказалось, что все команды набрали разное количество очков. При этом сумма очков российских команд была равна сумме очков всех команд из других стран. а) Могли ли все российские команды не проиграть ни одного матча с командами из других стран? б) Могли ли российские команды побеждать во всех матчах с командами из других стран? в) Может ли в тройке призёров турнира не быть ни одной российской команды?

Всего команд 18, они играют по круговой системе (каждая с каждой). Общее количество матчей в турнире: (18 * 17)/(2) = 153. Так как в каждом матче разыгрывается 2 очка (либо 2 одному победителю, либо по 1 каждому при ничьей), суммарное количество очков всех команд составляет: 153 * 2 = 306. По условию сумма очков российских команд равна сумме очков команд СНГ. Следовательно, каждая группа набрала ровно по 153 очка. Рассчитаем количество очков, разыгрываемых внутри групп: 1. Внутри группы из 6 российских команд проводится (6 * 5)/(2) = 15 матчей, в которых разыгрывается 15 * 2 = 30 очков. 2. Внутри группы из 12 команд СНГ проводится (12 * 11)/(2) = 66 матчей, в которых разыгрывается 66 * 2 = 132 очка. 3. Между командами России и СНГ проводится 6 * 12 = 72 матча, в которых разыгрывается 72 * 2 = 144 очка. **а) Могли ли все российские команды не проиграть ни одного матча с командами из других стран?** Если российские команды не проигрывают командам из СНГ, то в каждом из 72 матчей они получают либо 1 очко (ничья), либо 2 очка (победа). Пусть W — количество побед российских команд в этих матчах, а D — количество ничьих. Тогда: cases W + D = 72, 2W + D = 153 - 30 = 123. cases Вычитая первое уравнение из второго, получаем W = 51 , следовательно, D = 21 . Это допустимая комбинация. Число очков команд СНГ в матчах с Россией составит 144 - 123 = 21 . Общая сумма очков СНГ: 132 + 21 = 153 . Далее можно подобрать распределение очков так, чтобы все 18 значений были различными. Например, российские команды могут иметь набор очков 17; 21; 24; 27; 30; 34 (сумма 153). **б) Могли ли российские команды побеждать во всех матчах с командами из других стран?** Если российские команды выиграют все 72 матча у команд СНГ, то они получат в этих матчах 72 * 2 = 144 очка. Общая сумма очков российских команд составит: 144 + 30 = 174. Команды СНГ в этом случае наберут 0 очков в матчах с Россией, и их суммарный балл составит: 132 + 0 = 132. Так как по условию суммы очков должны быть равны, а 174 != 132 , такая ситуация невозможна. **в) Может ли в тройке призёров турнира не быть ни одной российской команды?** Пусть 3 лучшие команды — из СНГ. Тогда максимальное количество очков среди российских команд R_() должно быть меньше, чем результат третьей команды СНГ. Сумма очков 6 российских команд равна 153. Чтобы минимизировать R_() , очки должны быть распределены равномерно. Если R_() 27 , то максимальная сумма 6 различных целых чисел составит: 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 = 147 < 153. Следовательно, R_() 28 . Допустим, R_() = 28 , тогда российские команды могли набрать 23; 24; 25; 26; 27; 28 очков. Чтобы в тройке призёров не было россиян, три команды СНГ должны набрать хотя бы 29; 30; 31 очко (сумма 90). Оставшиеся 9 команд СНГ должны набрать в сумме 153 - 90 = 63 очка, что возможно (например, 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 20; 22 ). Все 18 значений очков будут различными. Ответ: а) Да. б) Нет. в) Да.

А) Да. Б) Нет. В) Да.