Задача №16985

Через центр окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{,}$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$ и пересекающая стороны $BA$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника $MBN$ равен сумме $AB+BC\text{.}$
б) Найдите длину отрезка $MN\text{,}$ если $BA=11\text{,}$ $BC=13\text{,}$ $AC=12\text{.}$

а) Центром вписанной окружности треугольника является точка пересечения его биссектрис. Пусть биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $I\text{.}$ Значит, $\angle CAI=\angle BAI$ и $\angle ACI=\angle BCI\text{.}$

Так как $MN\parallel AC\text{,}$ то $\angle MIA=\angle CAI$ и $\angle NIC=\angle ACI$ как накрест лежащие при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущих $AI\text{,}$ $CI\text{.}$ Следовательно,

$$\angle MAI=\angle MIA\text{и}\angle NCI=\angle NIC.$$

Значит, треугольники $AMI$ и $CNI$ — равнобедренные: $AM=MI$ и $CN=NI\text{.}$ Тогда периметр $△MBN$ равен

$$P_{MBN}=BM+MN+BN=BM+(MI+NI)+BN=(BM+MA)+(BN+NC)=AB+BC.$$

Что и требовалось доказать.

б) При $AB=11\text{,}$ $BC=13\text{,}$ $AC=12\text{:}$

$$P_{MBN}=AB+BC=24,P_{ABC}=AB+BC+AC=36.$$

Треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны по двум углам (общий $\angle B$ и $\angle BMN=\angle BAC$ как соответственные при $MN\parallel AC$) с коэффициентом подобия

$$k=\frac{P_{MBN}}{P_{ABC}}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}.$$

Поэтому $MN=k\cdot AC=\frac{2}{3}\cdot 12=8\text{.}$

Ответ:

б) $8\text{.}$