Через центр окружности, вписанной в треугольник ABC , проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая стороны BA и BC в точках M и N соответственно. а) Докажите, что периметр треугольника MBN равен сумме AB + BC . б) Найдите длину отрезка MN , если BA = 11 , BC = 13 , AC = 12 .

а) Центром вписанной окружности треугольника является точка пересечения его биссектрис. Пусть биссектрисы углов A и C пересекаются в точке I . Значит, CAI = BAI и ACI = BCI . Так как MN AC , то MIA = CAI и NIC = ACI как накрест лежащие при параллельных прямых MN и AC и секущих AI , CI . Следовательно, MAI = MIA и NCI = NIC. Значит, треугольники AMI и CNI — равнобедренные: AM = MI и CN = NI . Тогда периметр MBN равен P_(MBN) = BM + MN + BN = BM + (MI + NI) + BN = (BM + MA) + (BN + NC) = AB + BC. Что и требовалось доказать. б) При AB = 11 , BC = 13 , AC = 12 : P_(MBN) = AB + BC = 24, P_(ABC) = AB + BC + AC = 36. Треугольники MBN и ABC подобны по двум углам (общий B и BMN = BAC как соответственные при MN AC ) с коэффициентом подобия k = (P_(MBN))/(P_(ABC)) = (24)/(36) = (2)/(3). Поэтому MN = k * AC = (2)/(3) * 12 = 8 . Ответ: б) 8 .

б) $8$