Задача №16984

Найдите точку максимума функции $f(x)=\sqrt{x}\cdot (8-\sqrt{x})+\sqrt{2}\text{.}$

Раскроем скобки: $f(x)=8\sqrt{x}-x+\sqrt{2}\text{.}$ Область определения: $x⩾0\text{.}$

Производная при $x>0\text{:}$

Приравняем производную к нулю:

При $0<x<16$ имеем $\sqrt{x}<4\text{,}$ поэтому $f^{\prime }(x)>0$ — функция возрастает; при $x>16$ имеем $f^{\prime }(x)<0$ — функция убывает. Следовательно, $x=16$ — точка максимума.

Ответ: 16