Задача №16983

В окружности с центром $O$ проведён диаметр $MN\text{,}$ отмечены точка $K$ — середина дуги $MN\text{,}$ точка $A$ — середина хорды $MK$ и точка $B$ — середина дуги $KN\text{.}$

А) Докажите, что $AB:MN=\sqrt{3}:\sqrt{8}\text{.}$
Б) На отрезке $AB$ как на стороне построен прямоугольник $ABCD$ так, что его вершина $C$ лежит на окружности. Найдите площадь прямоугольника $ABCD\text{,}$ если радиус окружности равен $3\sqrt{7}\text{.}$

Пусть $R$ — радиус окружности, $O$ — её центр, $MN$ — диаметр, $K$ — середина дуги $MN\text{,}$ $A$ — середина хорды $MK\text{,}$ $B$ — середина дуги $KN\text{.}$

А) Доказательство $AB:MN=\sqrt{3}:\sqrt{8}\text{.}$

Треугольник $MOK\text{.}$ $OM=OK=R\text{,}$ $\angle MOK=90^{\circ }$ (так как $K$ — середина полуокружности $MN$). По теореме Пифагора $MK=R\sqrt{2}\text{.}$

$A$ — середина $MK\text{,}$ $OA$ — медиана к гипотенузе в прямоугольном равнобедренном треугольнике, поэтому $OA=\frac{1}{2}MK=\frac{R\sqrt{2}}{2}$ и $OA\perp MK\text{.}$

Положение $B\text{.}$ Поскольку $B$ — середина дуги $KN\text{,}$ $\angle KOB=45^{\circ }\text{,}$ $\angle MOB=90^{\circ }+45^{\circ }=135^{\circ }\text{.}$ С другой стороны, $OA$ проходит вдоль биссектрисы $\angle MOK$ (медиана и биссектриса в равнобедренном $△MOK$), то есть $OA$ направлена под углом $45^{\circ }$ от $OM\text{.}$ Значит, $\angle AOB=135^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }\text{.}$

Итак, треугольник $AOB$ прямоугольный с катетами $OA=\frac{R\sqrt{2}}{2}$ и $OB=R\text{:}$

$$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2=\frac{R^2}{2}+R^2=\frac{3R^2}{2},AB=\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.$$

Тогда

$$\frac{AB}{MN}=\frac{R\sqrt{3}/\sqrt{2}}{2R}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}},$$

что и требовалось доказать.

Б) Площадь прямоугольника $ABCD$ при $R=3\sqrt{7}\text{.}$

Продолжим прямую $BA$ до пересечения с окружностью в точке $P\text{.}$ По теореме о пересекающихся хордах (хорды $PB$ и $MK$ пересекаются в $A$):

$$PA\cdot AB=MA\cdot AK.$$

$MA=AK=\frac{MK}{2}=\frac{R\sqrt{2}}{2}\text{,}$ значит, $MA\cdot AK=\frac{R^2}{2}\text{.}$

Отсюда

$$PA=\frac{R^2/2}{AB}=\frac{R^2/2}{R\sqrt{3}/\sqrt{2}}=\frac{R\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{R}{\sqrt{6}}.$$

Далее

$$PB=PA+AB=\frac{R}{\sqrt{6}}+\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{R+3R}{\sqrt{6}}=\frac{4R}{\sqrt{6}}.$$

Проведём диаметр $PC$ через $P$ и $O$ и соединим $B$ с $C\text{.}$ Угол $\angle PBC=90^{\circ }\text{,}$ так как опирается на диаметр $PC\text{.}$ Это означает, что $BC\perp PB\text{,}$ то есть $BC\perp AB\text{.}$ Поскольку $ABCD$ — прямоугольник на стороне $AB\text{,}$ такая точка $C$ существует и лежит на окружности.

Тогда $PC=2R\text{,}$ и из прямоугольного $△PBC$

$$BC=\sqrt{P{C}^2-P{B}^2}=\sqrt{4R^2-\frac{16R^2}{6}}=\sqrt{\frac{24R^2-16R^2}{6}}=\sqrt{\frac{8R^2}{6}}=\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$

Площадь:

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2R}{\sqrt{3}}=\frac{2R^2}{\sqrt{2}}=R^2\sqrt{2}.$$

Подставим $R=3\sqrt{7}\text{:}$

$$S=(3\sqrt{7}{)}^2\cdot \sqrt{2}=63\sqrt{2}.$$

Ответ: $S_{ABCD}=63\sqrt{2}\text{.}$