В окружности с центром O проведён диаметр MN, отмечены точка K — середина дуги MN, точка A — середина хорды MK и точка B — середина дуги KN. А) Докажите, что AB : MN = sqrt(3) : sqrt(8). Б) На отрезке AB как на стороне построен прямоугольник ABCD так, что его вершина C лежит на окружности. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если радиус окружности равен 3sqrt(7).

Пусть R — радиус окружности, O — её центр, MN — диаметр, K — середина дуги MN, A — середина хорды MK, B — середина дуги KN. А) Доказательство AB : MN = sqrt(3) : sqrt(8). Треугольник MOK. OM = OK = R, MOK = 90^ (так как K — середина полуокружности MN). По теореме Пифагора MK = Rsqrt(2). A — середина MK, OA — медиана к гипотенузе в прямоугольном равнобедренном треугольнике, поэтому OA = (1)/(2)MK = (Rsqrt(2))/(2) и OA MK. Положение B. Поскольку B — середина дуги KN, KOB = 45^, MOB = 90^ + 45^ = 135^. С другой стороны, OA проходит вдоль биссектрисы MOK (медиана и биссектриса в равнобедренном MOK), то есть OA направлена под углом 45^ от OM. Значит, AOB = 135^ - 45^ = 90^. Итак, треугольник AOB прямоугольный с катетами OA = (Rsqrt(2))/(2) и OB = R: AB^2 = OA^2 + OB^2 = (R^2)/(2) + R^2 = (3R^2)/(2), AB = (Rsqrt(3))/(sqrt(2)). Тогда (AB)/(MN) = (Rsqrt(3) / sqrt(2))/(2R) = (sqrt(3))/(2sqrt(2)) = (sqrt(3))/(sqrt(8)), что и требовалось доказать. Б) Площадь прямоугольника ABCD при R = 3sqrt(7). Продолжим прямую BA до пересечения с окружностью в точке P. По теореме о пересекающихся хордах (хорды PB и MK пересекаются в A): PA * AB = MA * AK. MA = AK = (MK)/(2) = (Rsqrt(2))/(2), значит, MA * AK = (R^2)/(2). Отсюда PA = (R^2/2)/(AB) = (R^2/2)/(Rsqrt(3)/sqrt(2)) = (Rsqrt(2))/(2sqrt(3)) = (R)/(sqrt(6)). Далее PB = PA + AB = (R)/(sqrt(6)) + (Rsqrt(3))/(sqrt(2)) = (R + 3R)/(sqrt(6)) = (4R)/(sqrt(6)). Проведём диаметр PC через P и O и соединим B с C. Угол PBC = 90^, так как опирается на диаметр PC. Это означает, что BC PB, то есть BC AB. Поскольку ABCD — прямоугольник на стороне AB, такая точка C существует и лежит на окружности. Тогда PC = 2R, и из прямоугольного PBC BC = sqrt(PC^2 - PB^2) = sqrt(4R^2 - (16R^2)/(6)) = sqrt((24R^2 - 16R^2)/(6)) = sqrt((8R^2)/(6)) = (2R)/(sqrt(3)). Площадь: S_(ABCD) = AB * BC = (Rsqrt(3))/(sqrt(2)) * (2R)/(sqrt(3)) = (2R^2)/(sqrt(2)) = R^2sqrt(2). Подставим R = 3sqrt(7): S = (3sqrt(7))^2 * sqrt(2) = 63sqrt(2). Ответ: S_(ABCD) = 63sqrt(2).

63√2