Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин
а) Решите уравнение
sinx−cosx=1+sin2x−1.
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
[−23π;π].
а) Заметим, что
1+sin2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x=(sinx+cosx)2.Тогда 1+sin2x=∣sinx+cosx∣. Уравнение принимает вид:
sinx−cosx=∣sinx+cosx∣−1.Рассмотрим случай 1: sinx+cosx⩾0.
sinx−cosx=sinx+cosx−1⇔−2cosx=−1⇔cosx=21.Тогда x=±3π+2πn,n∈Z. Проверка условия sinx+cosx⩾0:
1. x=3π: sin3π+cos3π=23+21>0 — верно.
2. x=−3π: sin(−3π)+cos(−3π)=−23+21<0 — не верно.
Рассмотрим случай 2: sinx+cosx<0.
sinx−cosx=−(sinx+cosx)−1⇔2sinx=−1⇔sinx=−21.Тогда x=−6π+2πn или x=−65π+2πn,n∈Z. Проверка условия sinx+cosx<0:
1. x=−6π: sin(−6π)+cos(−6π)=−21+23>0 — не верно.
2. x=−65π: sin(−65π)+cos(−65π)=−21−23<0 — верно.
Корни уравнения: x=3π+2πn и x=−65π+2πn, где n∈Z.
б) Найдём корни, принадлежащие отрезку [−23π;π].
Данный отрезок в десятичном приближении: [−4,71;3,14].
1. При n=0 корень x=3π≈1,05∈[−23π;π].
2. При n=0 корень x=−65π≈−2,62∈[−23π;π].
Остальные значения серий выходят за границы отрезка.
Ответ:
а) 3π+2πn,−65π+2πn,n∈Z
б) −65π;3π