а) Решите уравнение sin x - cos x = sqrt(1 + sin 2x) - 1 . б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-(3pi)/(2); pi] .

а) Заметим, что 1 + sin 2x = sin^2 x + 2sin x cos x + cos^2 x = (sin x + cos x)^2. Тогда sqrt(1+sin 2x) = |sin x + cos x| . Уравнение принимает вид: sin x - cos x = |sin x + cos x| - 1. Рассмотрим случай 1: sin x + cos x 0 . sin x - cos x = sin x + cos x - 1 <=> -2cos x = -1 <=> cos x = (1)/(2). Тогда x = +-(pi)/(3) + 2pi n, n in Z . Проверка условия sin x + cos x 0 : 1. x = (pi)/(3) : sin(pi)/(3)+cos(pi)/(3) = (sqrt(3))/(2)+(1)/(2) > 0 — верно. 2. x = -(pi)/(3) : sin(-(pi)/(3))+cos(-(pi)/(3)) = -(sqrt(3))/(2)+(1)/(2) < 0 — не верно. Рассмотрим случай 2: sin x + cos x < 0 . sin x - cos x = -(sin x + cos x) - 1 <=> 2sin x = -1 <=> sin x = -(1)/(2). Тогда x = -(pi)/(6) + 2pi n или x = -(5pi)/(6) + 2pi n, n in Z . Проверка условия sin x + cos x < 0 : 1. x = -(pi)/(6) : sin(-(pi)/(6))+cos(-(pi)/(6)) = -(1)/(2)+(sqrt(3))/(2) > 0 — не верно. 2. x = -(5pi)/(6) : sin(-(5pi)/(6))+cos(-(5pi)/(6)) = -(1)/(2)-(sqrt(3))/(2) < 0 — верно. Корни уравнения: x = (pi)/(3) + 2pi n и x = -(5pi)/(6) + 2pi n , где n in Z . б) Найдём корни, принадлежащие отрезку [-(3pi)/(2); pi] . Данный отрезок в десятичном приближении: [-4,71; 3,14] . 1. При n=0 корень x = (pi)/(3) ~ 1,05 in [-(3pi)/(2); pi] . 2. При n=0 корень x = -(5pi)/(6) ~ -2,62 in [-(3pi)/(2); pi] . Остальные значения серий выходят за границы отрезка. Ответ: а) (pi)/(3) + 2pi n, -(5pi)/(6) + 2pi n, n in Z б) -(5pi)/(6); (pi)/(3)

-5π/6; π/3