Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение 16x^2(x-1) = (2x^2 - a)(a + 2x^2) имеет ровно два корня.

Раскроем правую часть: (2x^2 - a)(a + 2x^2) = (2x^2)^2 - a^2 = 4x^4 - a^2. Уравнение принимает вид 16x^3 - 16x^2 = 4x^4 - a^2, a^2 = 4x^4 - 16x^3 + 16x^2 = 4x^2(x^2 - 4x + 4) = 4x^2(x - 2)^2. Извлекая корень: |a| = 2|x|*|x - 2| = 2|x^2 - 2x|. Это равносильно совокупности a = 2(x^2 - 2x) или a = -2(x^2 - 2x). Запишем через канонический вид параболы y = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1 (вершина (1; -1) ). Получаем семейство: 1. a = 2(x-1)^2 - 2 — парабола, ветви вверх, вершина (1; -2) ; 2. a = -2(x-1)^2 + 2 — парабола, ветви вниз, вершина (1; 2) . Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения горизонтальной прямой a = const с объединением графиков (1) и (2). Исследование: - a < -2 : прямая a = const ниже вершины (1; -2) — пересекает только (1) в двух точках, (2) не пересекает. Итого 2 корня. - a = -2 : прямая касается (1) в (1; -2) — один корень x = 1 , и пересекает (2) в двух точках. Итого 3 корня. - -2 < a < 0 : оба графика пересекаются по 2 раза, всего 4 различных корня (так как (1) и (2) не пересекаются между собой при таких a ). - a = 0 : оба уравнения обращаются в 2(x-1)^2 = 2 , x = 0 или x = 2 — общие 2 корня. Итого 2 корня. - 0 < a < 2 : оба графика дают по 2 корня, всего 4 различных. - a = 2 : прямая касается (2) в (1; 2) — один корень x = 1 , и пересекает (1) в двух точках. Итого 3 корня. - a > 2 : прямая выше вершины (1; 2) — пересекает только (1) в двух точках. Итого 2 корня. Ровно 2 корня — при a in (-inf; -2) U 0 U (2; +inf) . Ответ: a in (-inf; -2) U 0 U (2; +inf) .

$a \in (-\infty;\ -2) \cup \{0\} \cup (2;\ +\infty)$