Задача №16980

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$16x^2(x-1)=(2x^2-a)(a+2x^2)$$

имеет ровно два корня.

Раскроем правую часть:

$$(2x^2-a)(a+2x^2)=(2x^2{)}^2-a^2=4x^4-a^2.$$

Уравнение принимает вид

$$16x^3-16x^2=4x^4-a^2,$$ $$a^2=4x^4-16x^3+16x^2=4x^2(x^2-4x+4)=4x^2(x-2{)}^2.$$

Извлекая корень:

$$|a|=2|x|\cdot |x-2|=2|x^2-2x|.$$

Это равносильно совокупности

$$a=2(x^2-2x)\text{или}a=-2(x^2-2x).$$

Запишем через канонический вид параболы $y=x^2-2x=(x-1{)}^2-1$ (вершина $(1;-1)$). Получаем семейство:

1. $a=2(x-1{)}^2-2$ — парабола, ветви вверх, вершина $(1;-2)\text{;}$
2. $a=-2(x-1{)}^2+2$ — парабола, ветви вниз, вершина $(1;2)\text{.}$

Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с объединением графиков (1) и (2).

Исследование:

• $a<-2\text{:}$ прямая $a=\text{const}$ ниже вершины $(1;-2)$ — пересекает только (1) в двух точках, (2) не пересекает. Итого 2 корня.
• $a=-2\text{:}$ прямая касается (1) в $(1;-2)$ — один корень $x=1\text{,}$ и пересекает (2) в двух точках. Итого 3 корня.
• $-2<a<0\text{:}$ оба графика пересекаются по 2 раза, всего 4 различных корня (так как (1) и (2) не пересекаются между собой при таких $a$).
• $a=0\text{:}$ оба уравнения обращаются в $2(x-1{)}^2=2\text{,}$ $x=0$ или $x=2$ — общие 2 корня. Итого 2 корня.
• $0<a<2\text{:}$ оба графика дают по 2 корня, всего 4 различных.
• $a=2\text{:}$ прямая касается (2) в $(1;2)$ — один корень $x=1\text{,}$ и пересекает (1) в двух точках. Итого 3 корня.
• $a>2\text{:}$ прямая выше вершины $(1;2)$ — пересекает только (1) в двух точках. Итого 2 корня.

Ровно 2 корня — при $a\in (-\infty ;-2)\cup \{0\}\cup (2;+\infty )\text{.}$

Ответ: $a\in (-\infty ;-2)\cup \{0\}\cup (2;+\infty )\text{.}$