Задача №16979

В канун Нового года Дед Мороз решил проверить, не забыл ли он геометрию за годы раздачи подарков. Он нарисовал на льду озера параллелограмм $ABCD$ и обнаружил удивительный факт: биссектриса угла $BAC$ оказалась перпендикулярна диагонали $BD$ — «Вот это новогоднее чудо!» — воскликнул он. Эта биссектриса пересекла сторону $BC$ в точке $L\text{.}$

а) Докажите, что $BL:LC=1:2\text{.}$

б) Найдите площадь четырёхугольника $DCLO\text{,}$ где $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма, если $BD=10$ и $AL=8\text{.}$

Подсказка от Снегурочки: «Используй свойство биссектрисы и то, что в параллелограмме диагонали делятся пополам — как мандарины на столе!»

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD\text{,}$ то есть середина $BD$ и $AC\text{.}$ Биссектриса угла $BAC$ из вершины $A$ перпендикулярна $BD\text{.}$ Обозначим точку их пересечения через $P\text{.}$ Поскольку $O$ — середина $BD\text{,}$ точка $P$ лежит на отрезке $BO\text{.}$

Рассмотрим треугольник $ABO\text{.}$ В нём биссектриса угла $BAO$ (совпадает с углом $BAC\text{,}$ так как $O$ лежит на $AC$) одновременно перпендикулярна стороне $BO\text{.}$ Значит, эта биссектриса является и высотой, опущенной на $BO\text{,}$ поэтому треугольник $ABO$ — равнобедренный: $AB=AO\text{.}$

Так как $AO=\frac{AC}{2}\text{,}$ получаем $AB=\frac{AC}{2}\text{,}$ то есть $AC=2\cdot AB\text{.}$

В треугольнике $ABC$ биссектриса из $A$ делит противоположную сторону $BC$ в отношении прилежащих сторон:

$$\frac{BL}{LC}=\frac{AB}{AC}=\frac{AB}{2AB}=\frac{1}{2}.$$

Значит, $BL:LC=1:2\text{.}$ Что и требовалось доказать.

Для нахождения площади четырёхугольника $DCLO$ обозначим $AB=c\text{.}$ Тогда $AC=2c\text{,}$ $AO=c\text{,}$ $BO=\frac{BD}{2}=5\text{.}$

Введём систему координат: $A(0;0)\text{,}$ $C(2c;0)\text{,}$ $O(c;0)\text{.}$ Пусть $B(x_B;y_B)\text{.}$

Из условия $AB=c$ имеем $x_B^2+y_B^2=c^2\text{.}$ Из $BO=5$ имеем $(x_B-c{)}^2+y_B^2=25\text{.}$ Вычитая первое уравнение из второго:

$$-2c{x}_B+c^2=25-c^2\Rightarrow x_B=\frac{2c^2-25}{2c}.$$

Точка $L$ лежит на $BC$ и делит её в отношении $BL:LC=1:2\text{,}$ следовательно:

$$L=B+\frac{1}{3}(C-B)=\frac{2B+C}{3}=\left(\frac{2x_B+2c}{3};\frac{2y_B}{3}\right).$$

Из условия $AL=8$ получаем:

$${\left(\frac{2(x_B+c)}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2y_B}{3}\right)}^2=64\Rightarrow (x_B+c{)}^2+y_B^2=144.$$

Вычитая $x_B^2+y_B^2=c^2\text{,}$ находим $2c{x}_B+c^2=144-c^2\text{,}$ откуда $x_B=\frac{144-2c^2}{2c}\text{.}$

Приравняем выражения для $x_B\text{:}$

$$\frac{2c^2-25}{2c}=\frac{144-2c^2}{2c}\Rightarrow 4c^2=169\Rightarrow c=\frac{13}{2}=6,5.$$

Тогда $x_B=\frac{2\cdot (169/4)-25}{13}=\frac{119}{26}$ и $y_B^2=c^2-x_B^2=\frac{169}{4}-\frac{14161}{676}=\frac{14400}{676}\text{,}$ откуда $y_B=\frac{120}{26}=\frac{60}{13}\text{.}$

Координаты вершин четырёхугольника $DCLO\text{:}$
$D=2O-B=\left(\frac{219}{26};-\frac{60}{13}\right)\text{,}$ $C=(13;0)\text{,}$ $L=\left(\frac{96}{13};\frac{40}{13}\right)\text{,}$ $O=(6,5;0)\text{.}$

Воспользуемся формулой Гаусса. Для упрощения умножим все координаты на $26\text{,}$ тогда площадь $S^{\prime }$ увеличится в $26^2=676$ раз:
$D^{\prime }(219;-120)\text{,}$ $C^{\prime }(338;0)\text{,}$ $L^{\prime }(192;80)\text{,}$ $O^{\prime }(169;0)\text{.}$

$$2S^{\prime }=|x_D(y_C-y_O)+x_C(y_L-y_D)+x_L(y_O-y_C)+x_O(y_D-y_L)|=$$ $$=|0+338(80-(-120))+0+169(-120-80)|=|338\cdot 200-169\cdot 200|=33800.$$

Следовательно, $S^{\prime }=16900\text{,}$ а искомая площадь $S=\frac{16900}{676}=25\text{.}$

Ответ: 25