В канун Нового года Дед Мороз решил проверить, не забыл ли он геометрию за годы раздачи подарков. Он нарисовал на льду озера параллелограмм ABCD и обнаружил удивительный факт: биссектриса угла BAC оказалась перпендикулярна диагонали BD — «Вот это новогоднее чудо!» — воскликнул он. Эта биссектриса пересекла сторону BC в точке L . а) Докажите, что BL : LC = 1 : 2 . б) Найдите площадь четырёхугольника DCLO , где O — точка пересечения диагоналей параллелограмма, если BD = 10 и AL = 8 . *Подсказка от Снегурочки: «Используй свойство биссектрисы и то, что в параллелограмме диагонали делятся пополам — как мандарины на столе!»*

Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD , то есть середина BD и AC . Биссектриса угла BAC из вершины A перпендикулярна BD . Обозначим точку их пересечения через P . Поскольку O — середина BD , точка P лежит на отрезке BO . Рассмотрим треугольник ABO . В нём биссектриса угла BAO (совпадает с углом BAC , так как O лежит на AC ) одновременно перпендикулярна стороне BO . Значит, эта биссектриса является и высотой, опущенной на BO , поэтому треугольник ABO — равнобедренный: AB = AO . Так как AO = (AC)/(2) , получаем AB = (AC)/(2) , то есть AC = 2 * AB . В треугольнике ABC биссектриса из A делит противоположную сторону BC в отношении прилежащих сторон: (BL)/(LC) = (AB)/(AC) = (AB)/(2AB) = (1)/(2). Значит, BL : LC = 1 : 2 . Что и требовалось доказать. Для нахождения площади четырёхугольника DCLO обозначим AB = c . Тогда AC = 2c , AO = c , BO = (BD)/(2) = 5 . Введём систему координат: A(0; 0) , C(2c; 0) , O(c; 0) . Пусть B(x_B; y_B) . Из условия AB = c имеем x_B^2 + y_B^2 = c^2 . Из BO = 5 имеем (x_B - c)^2 + y_B^2 = 25 . Вычитая первое уравнение из второго: -2cx_B + c^2 = 25 - c^2 => x_B = (2c^2 - 25)/(2c). Точка L лежит на BC и делит её в отношении BL : LC = 1 : 2 , следовательно: L = B + (1)/(3)(C - B) = (2B + C)/(3) = ( (2x_B + 2c)/(3); (2y_B)/(3) ). Из условия AL = 8 получаем: ( (2(x_B + c))/(3) )^2 + ( (2y_B)/(3) )^2 = 64 => (x_B + c)^2 + y_B^2 = 144. Вычитая x_B^2 + y_B^2 = c^2 , находим 2cx_B + c^2 = 144 - c^2 , откуда x_B = (144 - 2c^2)/(2c) . Приравняем выражения для x_B : (2c^2 - 25)/(2c) = (144 - 2c^2)/(2c) => 4c^2 = 169 => c = (13)/(2) = 6,5. Тогда x_B = (2 * (169/4) - 25)/(13) = (119)/(26) и y_B^2 = c^2 - x_B^2 = (169)/(4) - (14161)/(676) = (14400)/(676) , откуда y_B = (120)/(26) = (60)/(13) . Координаты вершин четырёхугольника DCLO : D = 2O - B = ( (219)/(26); -(60)/(13) ) , C = (13; 0) , L = ( (96)/(13); (40)/(13) ) , O = (6,5; 0) . Воспользуемся формулой Гаусса. Для упрощения умножим все координаты на 26 , тогда площадь S' увеличится в 26^2 = 676 раз: D'(219; -120) , C'(338; 0) , L'(192; 80) , O'(169; 0) . 2S' = |x_D(y_C - y_O) + x_C(y_L - y_D) + x_L(y_O - y_C) + x_O(y_D - y_L)| = = |0 + 338(80 - (-120)) + 0 + 169(-120 - 80)| = |338 * 200 - 169 * 200| = 33800. Следовательно, S' = 16900 , а искомая площадь S = (16900)/(676) = 25 . Ответ: 25

25