Задача №16978

Известно, что $\angle B+\angle C=\angle AKB\text{.}$ Углы $\angle AKB$ и $\angle AKC$ — смежные, поэтому $\angle AKB+\angle AKC=180^{\circ }\text{.}$ В треугольнике $ABC$ также выполнено $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }\text{.}$ Сравнивая, получаем

$$\angle AKC=180^{\circ }-\angle AKB=180^{\circ }-(\angle B+\angle C)=\angle A=\angle BAC.$$

Рассмотрим треугольники $AKC$ и $BAC\text{.}$ У них:

1. $\angle AKC=\angle BAC$ (доказано),
2. $\angle ACK=\angle ACB$ (общий угол).

Значит, $△AKC\sim △BAC$ по двум углам, причём вершинам $A,K,C$ первого треугольника соответствуют вершины $B,A,C$ второго.

Из подобия получаем

$$\frac{AC}{BC}=\frac{KC}{AC}=\frac{AK}{AB}.$$

По условию $BC=BK+KC=16+2=18\text{,}$ $KC=2\text{,}$ $AK=5\text{.}$

Из $\frac{AC}{BC}=\frac{KC}{AC}$ имеем

$$A{C}^2=BC\cdot KC=18\cdot 2=36,$$

откуда $AC=6\text{.}$

Из $\frac{AK}{AB}=\frac{AC}{BC}$ получаем

$$\frac{5}{AB}=\frac{6}{18},$$

то есть

$$AB=\frac{5\cdot 18}{6}=15.$$

Ответ: 15