На стороне BC треугольника ABC отмечена точка K . Известно, что B + C = AKB , AK = 5 , BK = 16 , KC = 2 . Найдите AB .

Известно, что B + C = AKB . Углы AKB и AKC — смежные, поэтому AKB + AKC = 180^ . В треугольнике ABC также выполнено A + B + C = 180^ . Сравнивая, получаем AKC = 180^ - AKB = 180^ - ( B + C) = A = BAC. Рассмотрим треугольники AKC и BAC . У них: 1. AKC = BAC (доказано), 2. ACK = ACB (общий угол). Значит, AKC BAC по двум углам, причём вершинам A, K, C первого треугольника соответствуют вершины B, A, C второго. Из подобия получаем (AC)/(BC) = (KC)/(AC) = (AK)/(AB). По условию BC = BK + KC = 16 + 2 = 18 , KC = 2 , AK = 5 . Из (AC)/(BC) = (KC)/(AC) имеем AC^2 = BC * KC = 18 * 2 = 36, откуда AC = 6 . Из (AK)/(AB) = (AC)/(BC) получаем (5)/(AB) = (6)/(18), то есть AB = (5 * 18)/(6) = 15. Ответ: 15

15