Задача №16976

Четыре мотоциклиста одновременно стартовали в одном направлении из одного пункта в гонке по кольцевой трассе. В некоторый момент все мотоциклисты поравнялись друг с другом. Известно, что до этого момента первый мотоциклист обогнал второго 1 раз, второй мотоциклист обогнал третьего 3 раза, третий мотоциклист обогнал четвёртого 2 раза. Сколько раз до этого момента первый мотоциклист обогнал четвёртого?

Пусть $L$ — длина кольцевой трассы, $T$ — момент, когда все четверо поравнялись, $v_1,v_2,v_3,v_4$ — скорости мотоциклистов (упорядочены так, что $v_1>v_2>v_3>v_4\text{,}$ поскольку первый обгоняет второго и т.д.).

Ключевая идея.

Если все четверо в момент $T$ оказались в одной точке трассы, то для любой пары $(i,j)$ разность пройденных путей $(v_i-v_j)\cdot T$ кратна $L\text{,}$ то есть

Геометрический смысл числа $m_{ij}\text{:}$ это количество моментов в полуинтервале $(0;T]\text{,}$ в которые $i$-й мотоциклист догонял $j$-го. Но в момент $T$ они встретились, а не обогнали друг друга (обгон относят к ситуациям внутри гонки, до этого момента). Значит, число обгонов до момента $T$ равно

Применим к парам:

1. Первый — второй: $n_{12}=1\text{,}$ значит $m_{12}=2\text{,}$ то есть $(v_1-v_2)T/L=2\text{.}$
2. Второй — третий: $n_{23}=3\text{,}$ значит $m_{23}=4\text{,}$ то есть $(v_2-v_3)T/L=4\text{.}$
3. Третий — четвёртый: $n_{34}=2\text{,}$ значит $m_{34}=3\text{,}$ то есть $(v_3-v_4)T/L=3\text{.}$

Посчитаем для пары 1—4. Складывая разности скоростей:

Значит, $m_{14}=9\text{,}$ и число обгонов первого над четвёртым до момента $T\text{:}$

Ответ: 8.