Четыре мотоциклиста одновременно стартовали в одном направлении из одного пункта в гонке по кольцевой трассе. В некоторый момент все мотоциклисты поравнялись друг с другом. Известно, что до этого момента первый мотоциклист обогнал второго 1 раз, второй мотоциклист обогнал третьего 3 раза, третий мотоциклист обогнал четвёртого 2 раза. Сколько раз до этого момента первый мотоциклист обогнал четвёртого?

Пусть L — длина кольцевой трассы, T — момент, когда все четверо поравнялись, v_1,v_2,v_3,v_4 — скорости мотоциклистов (упорядочены так, что v_1>v_2>v_3>v_4 , поскольку первый обгоняет второго и т.д.). Ключевая идея. Если все четверо в момент T оказались в одной точке трассы, то для любой пары (i,j) разность пройденных путей (v_i - v_j)* T кратна L , то есть ((v_i - v_j)* T)/(L) = m_(ij)inZ_(>0). Геометрический смысл числа m_(ij) : это количество моментов в полуинтервале (0;T] , в которые i -й мотоциклист догонял j -го. Но в момент T они встретились, а не обогнали друг друга (обгон относят к ситуациям внутри гонки, до этого момента). Значит, число обгонов до момента T равно n_(ij) = m_(ij) - 1. Применим к парам: 1. Первый — второй: n_(12) = 1 , значит m_(12) = 2 , то есть (v_1 - v_2)T/L = 2 . 2. Второй — третий: n_(23) = 3 , значит m_(23) = 4 , то есть (v_2 - v_3)T/L = 4 . 3. Третий — четвёртый: n_(34) = 2 , значит m_(34) = 3 , то есть (v_3 - v_4)T/L = 3 . Посчитаем для пары 1—4. Складывая разности скоростей: (v_1 - v_4)(T)/(L) = (v_1-v_2)(T)/(L) + (v_2-v_3)(T)/(L) + (v_3-v_4)(T)/(L) = 2 + 4 + 3 = 9. Значит, m_(14) = 9 , и число обгонов первого над четвёртым до момента T : n_(14) = m_(14) - 1 = 9 - 1 = 8. Ответ: 8.

8