Найдите все значения a , при каждом из которых система cases sqrt(x^(2) + 2xy + 3y^(2)) = sqrt(x^(2) - y^(2)), (x^(6))/((x^(2) + y^(2))^(2)) * (a - x) = 2 cases имеет ровно четыре решения.

Система: cases sqrt(x^(2) + 2xy + 3y^(2)) = sqrt(x^(2) - y^(2)), (x^(6))/((x^(2) + y^(2))^(2))*(a - x) = 2. cases Заметим, что x^(2) - y^(2) 0 и x^(2) + y^(2) != 0 , откуда x != 0 . Введём t = y/x . Делим обе части первого уравнения на |x| (можно — подкоренные выражения возводим в квадрат) и сокращаем второе уравнение на x^(4) : cases sqrt(3t^(2) + 2t + 1) = sqrt(1 - t^(2)), (x^(2))/((1 + t^(2))^(2))*(a - x) = 2. cases Решаем первое уравнение: 3t^(2) + 2t + 1 = 1 - t^(2) 4t^(2) + 2t = 0 2t(2t + 1) = 0. Корни t = 0 и t = -(1)/(2) (оба удовлетворяют |t| 1 ). Так как y однозначно определяется по паре (x;t) , нужно найти все a , при которых совокупность [arrayl t = 0:x^(2)*(a - x) = 2, t = -(1)/(2):(x^(2))/((1 + 1/4)^(2))*(a - x) = 2 (x^(2))/(25/16)*(a - x) = 2 array. имеет ровно 4 решения по x (поскольку x != 0 ). Делим обе части на x^(2) : [arrayl a - x = (2)/(x^(2)), a - x = (25)/(8x^(2)). array. Геометрическая интерпретация. Линия y = a - x — это прямая с наклоном -1 , отсекающая на оси ординат отрезок a . Правые части — гиперболы f_(1)(x) = (2)/(x^(2)) и f_(2)(x) = (25)/(8x^(2)) , обе имеют две ветви: одну при x > 0 и одну при x < 0 . При x < 0 функции f_(1)(x), f_(2)(x) убывают от +inf до 0 при x -inf , а прямая a - x возрастает от -inf до +inf — значит, на левой ветви всегда есть ровно по одному пересечению с прямой (итого два решения с x < 0 ). Чтобы общее число решений было ровно четыре, нужно ещё ровно два пересечения на правых ветвях ( x > 0 ). На каждой правой ветви прямая с наклоном -1 имеет 0, 1 (касание) или 2 пересечения. Граница «2 пересечения» — касание. Условия касания прямой y = a - x и кривой y = f(x) требуют f'(x) = -1 : - для f_(1) : f_(1)'(x) = -(4)/(x^(3)) = -1 ^(3) = 4 = [3]4 , тогда a_(1) = x + f_(1)(x) = [3]4 + (2)/([3]16) = [3]4 + ([3]4)/(2) = (3)/(2)[3]4; - для f_(2) : f_(2)'(x) = -(25)/(4x^(3)) = -1 ^(3) = (25)/(4) = [3]25/4 , тогда a_(2) = x + f_(2)(x) = [3]25/4 + (25)/(8[3](25/4)^(2)) = (3)/(2)[3]25/4. При a < (3)/(2)[3]4 прямая лежит ниже обеих гипербол на x > 0 (на правых ветвях пересечений нет): всего 2 решения. При a = (3)/(2)[3]4 — касание с f_(1) , одно пересечение справа: 3 решения. При (3)/(2)[3]4 < a < (3)/(2)[3]25/4 прямая пересекает f_(1) в двух точках, f_(2) — ни в одной: 4 решения. При a = (3)/(2)[3]25/4 — касание с f_(2) : 5 решений ( 2 + 2 + 1 ). При a > (3)/(2)[3]25/4 прямая пересекает обе правые ветви по 2 раза: 6 решений. Ответ: a in ( (3)/(2)[3]4; (3)/(2)[3](25)/(4) ) .

a ∈ (3/2·∛4; 3/2·∛(25/4))