Задача №16974

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система

$$\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+2xy+3y^2}=\sqrt{x^2-y^2},\\ \frac{x^6}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\cdot (a-x)=2\end{array}$$

имеет ровно четыре решения.

Система:

$$\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+2xy+3y^2}=\sqrt{x^2-y^2},\\ \frac{x^6}{(x^2+y^2{)}^2}\cdot (a-x)=2.\end{array}$$

Заметим, что $x^2-y^2⩾0$ и $x^2+y^2\ne 0\text{,}$ откуда $x\ne 0\text{.}$ Введём $t=y/x\text{.}$ Делим обе части первого уравнения на $|x|$ (можно — подкоренные выражения возводим в квадрат) и сокращаем второе уравнение на $x^4\text{:}$

$$\{\begin{array}{l}\sqrt{3t^2+2t+1}=\sqrt{1-t^2},\\ \frac{x^2}{(1+t^2{)}^2}\cdot (a-x)=2.\end{array}$$

Решаем первое уравнение:

$$3t^2+2t+1=1-t^2⟺4t^2+2t=0⟺2t(2t+1)=0.$$

Корни $t=0$ и $t=-\frac{1}{2}$ (оба удовлетворяют $|t|⩽1$).

Так как $y$ однозначно определяется по паре $(x;t)\text{,}$ нужно найти все $a\text{,}$ при которых совокупность

$$[\begin{array}{l}t=0:x^2\cdot (a-x)=2,\\ t=-\frac{1}{2}:\frac{x^2}{(1+1/4{)}^2}\cdot (a-x)=2⟺\frac{x^2}{25/16}\cdot (a-x)=2\end{array}$$

имеет ровно 4 решения по $x$ (поскольку $x\ne 0$).

Делим обе части на $x^2\text{:}$

$$[\begin{array}{l}a-x=\frac{2}{x^2},\\ a-x=\frac{25}{8x^2}.\end{array}$$

Геометрическая интерпретация. Линия $y=a-x$ — это прямая с наклоном $-1\text{,}$ отсекающая на оси ординат отрезок $a\text{.}$ Правые части — гиперболы $f_1(x)=\frac{2}{x^2}$ и $f_2(x)=\frac{25}{8x^2}\text{,}$ обе имеют две ветви: одну при $x>0$ и одну при $x<0\text{.}$

При $x<0$ функции $f_1(x),f_2(x)$ убывают от $+\infty$ до $0$ при $x\to -\infty \text{,}$ а прямая $a-x$ возрастает от $-\infty$ до $+\infty$ — значит, на левой ветви всегда есть ровно по одному пересечению с прямой (итого два решения с $x<0$).

Чтобы общее число решений было ровно четыре, нужно ещё ровно два пересечения на правых ветвях ($x>0$). На каждой правой ветви прямая с наклоном $-1$ имеет 0, 1 (касание) или 2 пересечения. Граница «2 пересечения» — касание.

Условия касания прямой $y=a-x$ и кривой $y=f(x)$ требуют $f^{\prime }(x)=-1\text{:}$

• для $f_1\text{:}$ $f_1^{\prime }(x)=-\frac{4}{x^3}=-1⟹x^3=4⟹x=\sqrt[3]{4}\text{,}$ тогда

$$a_1=x+f_1(x)=\sqrt[3]{4}+\frac{2}{\sqrt[3]{16}}=\sqrt[3]{4}+\frac{\sqrt[3]{4}}{2}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{4};$$

• для $f_2\text{:}$ $f_2^{\prime }(x)=-\frac{25}{4x^3}=-1⟹x^3=\frac{25}{4}⟹x=\sqrt[3]{25/4}\text{,}$ тогда

$$a_2=x+f_2(x)=\sqrt[3]{25/4}+\frac{25}{8\sqrt[3]{(25/4{)}^2}}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{25/4}.$$

При $a<\frac{3}{2}\sqrt[3]{4}$ прямая лежит ниже обеих гипербол на $x>0$ (на правых ветвях пересечений нет): всего 2 решения.

При $a=\frac{3}{2}\sqrt[3]{4}$ — касание с $f_1\text{,}$ одно пересечение справа: 3 решения.

При $\frac{3}{2}\sqrt[3]{4}<a<\frac{3}{2}\sqrt[3]{25/4}$ прямая пересекает $f_1$ в двух точках, $f_2$ — ни в одной: 4 решения.

При $a=\frac{3}{2}\sqrt[3]{25/4}$ — касание с $f_2\text{:}$ 5 решений ($2+2+1$).

При $a>\frac{3}{2}\sqrt[3]{25/4}$ прямая пересекает обе правые ветви по 2 раза: 6 решений.

Ответ: $a\in \left(\frac{3}{2}\sqrt[3]{4};\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{25}{4}}\right)\text{.}$