Решите неравенство: (x^2 + (2)/(3))^(x^2 - 2x - (1)/(4)) > (3)/(3x^2 + 2).

Заметим, что (3)/(3x^2 + 2) = (1)/(x^2 + 23) = (x^2 + (2)/(3))^(-1). Перепишем неравенство как (x^2 + (2)/(3))^(x^2 - 2x - (1)/(4)) > (x^2 + (2)/(3))^(-1). Применим метод рационализации. Так как x^2 + (2)/(3) > 0 при любом x , неравенство a^p > a^q при a > 0 равносильно (a - 1)(p - q) > 0 . Получаем: (x^2 + (2)/(3) - 1)(x^2 - 2x - (1)/(4) - (-1)) > 0, (x^2 - (1)/(3))(x^2 - 2x + (3)/(4)) > 0. Умножим на положительный множитель 3 * 4 = 12 : (3x^2 - 1)(4x^2 - 8x + 3) > 0. Корни первого множителя: x = +-(1)/(sqrt(3)) . Корни второго (из 4x^2 - 8x + 3 = 0 , дискриминант 64 - 48 = 16 ): x_(1,2) = (4 +- 2)/(4) = (1)/(2) или (3)/(2). Разложение на множители: 3 * 4 * (x - (1)/(sqrt(3)))(x + (1)/(sqrt(3)))(x - (1)/(2))(x - (3)/(2)) > 0. Корни в порядке возрастания: -(1)/(sqrt(3)) ~ -0,577 < (1)/(2) = 0,5 < (1)/(sqrt(3)) ~ 0,577 < (3)/(2) = 1,5. По методу интервалов знак чередуется, на +inf положителен: x in (-inf; -(1)/(sqrt(3))) U ((1)/(2); (1)/(sqrt(3))) U ((3)/(2); +inf). Ответ: (-inf; -(1)/(sqrt(3))) U ((1)/(2); (1)/(sqrt(3))) U ((3)/(2); +inf) .

$\left(-\infty;\ -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \cup \left(\dfrac{1}{2};\ \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \cup \left(\dfrac{3}{2};\ +\infty\right)$