Задача №16971

Решите неравенство:

$${\left(x^2+\frac{2}{3}\right)}^{x^2-2x-\frac{1}{4}}>\frac{3}{3x^2+2}.$$

Заметим, что

$$\frac{3}{3x^2+2}=\frac{1}{x^2+\frac{2}{3}}={\left(x^2+\frac{2}{3}\right)}^{-1}.$$

Перепишем неравенство как

$${\left(x^2+\frac{2}{3}\right)}^{x^2-2x-\frac{1}{4}}>{\left(x^2+\frac{2}{3}\right)}^{-1}.$$

Применим метод рационализации. Так как $x^2+\frac{2}{3}>0$ при любом $x\text{,}$ неравенство $a^p>a^q$ при $a>0$ равносильно $(a-1)(p-q)>0\text{.}$ Получаем:

$$\left(x^2+\frac{2}{3}-1\right)\left(x^2-2x-\frac{1}{4}-(-1)\right)>0,$$ $$\left(x^2-\frac{1}{3}\right)\left(x^2-2x+\frac{3}{4}\right)>0.$$

Умножим на положительный множитель $3\cdot 4=12\text{:}$

$$(3x^2-1)(4x^2-8x+3)>0.$$

Корни первого множителя: $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\text{.}$ Корни второго (из $4x^2-8x+3=0\text{,}$ дискриминант $64-48=16$):

$$x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{4}=\frac{1}{2}\text{ или }\frac{3}{2}.$$

Разложение на множители:

$$3\cdot 4\cdot \left(x-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)>0.$$

Корни в порядке возрастания:

$$-\frac{1}{\sqrt{3}}\approx -0,577<\frac{1}{2}=0,5<\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577<\frac{3}{2}=1,5.$$

По методу интервалов знак чередуется, на $+\infty$ положителен:

$$x\in \left(-\infty ;-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup \left(\frac{1}{2};\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup \left(\frac{3}{2};+\infty \right).$$

Ответ: $\left(-\infty ;-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup \left(\frac{1}{2};\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup \left(\frac{3}{2};+\infty \right)\text{.}$