Задача №16967

В деревне было поле, площадь которого менее 100 га. Третья часть поля принадлежала фермеру, а остальная площадь была поделена на несколько равных участков, принадлежавших односельчанам, причём площадь каждого участка выражалась натуральным числом гектаров. Фермер купил в городе несколько мешков семян по 25 кг в каждом мешке. Несколько мешков он оставил себе, а остальные распродал по 7 кг семян односельчанам, имевшим участки.

а) Чему равна площадь всего поля?

б) Сколько мешков семян купил фермер?

в) Сколько односельчан имели участки?

Пусть площадь поля фермера равна $x$ га. Тогда площадь земли односельчан равна $2x$ га, площадь всего поля — $3x$ га. Обозначим через $z$ га площадь каждого участка односельчан, $k$ — число односельчан. Тогда $kz=2x\text{.}$

Пусть для засева одного гектара требуется $m$ кг семян. Так как фермер продал каждому односельчанину ровно $7$ кг (этого должно хватить на участок площадью $z$), имеем $mz=7\text{.}$

Пусть фермер купил $n$ мешков семян по $25$ кг и оставил себе $a$ мешков. Тогда $25a=mx$ кг семян осталось у фермера (на его поле площадью $x$ га); продано односельчанам $25(n-a)$ кг $=7k$ кг, то есть

$$25(n-a)=7k.$$

Поскольку $25(n-a)=7k$ и $\gcd (25,7)=1\text{,}$ число $n-a$ кратно $7\text{,}$ а $k$ кратно $25\text{.}$ Положим $n-a=7t\text{,}$ тогда $25\cdot 7t=7k\text{,}$ откуда $k=25t\text{.}$

Итак, $k=25t\text{,}$ $n-a=7t\text{.}$ Из $kz=2x$ получаем

$$x=\frac{kz}{2}=\frac{25tz}{2}.$$

Учитывая ограничение $n⩽2p⩽66$ (где $3p$ — площадь поля), возможны две ситуации: $k=25$ ($t=1$) или $k=50$ ($t=2$).

Рассмотрим случай $k=25\text{.}$ Тогда из $kz=2x$ и условия $3x<100$ при натуральном $z$ имеем $z=2\text{,}$ $x=25\text{.}$ Плотность посева у односельчан: $\frac{7}{2}=3,5$ кг/га. У фермера площадь $25$ га; по условию одинаковой плотности посева ему требуется $25\cdot 3,5=87,5$ кг семян. Но $25a$ кратно $25$ — противоречие. Случай отбрасывается.

Рассмотрим случай $k=50\text{.}$ Тогда $50z=2x\text{,}$ $x=25z\text{.}$ С учётом $3x<100$ имеем $z<\frac{4}{3}\text{,}$ то есть $z=1\text{,}$ $x=25\text{.}$ Плотность посева $\frac{7}{1}=7$ кг/га. У фермера $25$ га, ему нужно $25\cdot 7=175$ кг семян, то есть $25a=175\text{,}$ $a=7\text{.}$ Тогда $n-a=7t=14\text{,}$ $t=2\text{,}$ и $n=a+14=21\text{.}$

Площадь поля $3x=75$ га. Проверка: $75<100\text{;}$ $z=1$ — натуральное; число односельчан $k=50\text{.}$

Замечание: задача предполагает одинаковую плотность посева у фермера и односельчан.

Ответ:

а) $75$ га

б) $21$ мешок

в) $50$ односельчан