В деревне было поле, площадь которого менее 100 га. Третья часть поля принадлежала фермеру, а остальная площадь была поделена на несколько равных участков, принадлежавших односельчанам, причём площадь каждого участка выражалась натуральным числом гектаров. Фермер купил в городе несколько мешков семян по 25 кг в каждом мешке. Несколько мешков он оставил себе, а остальные распродал по 7 кг семян односельчанам, имевшим участки. а) Чему равна площадь всего поля? б) Сколько мешков семян купил фермер? в) Сколько односельчан имели участки?

Пусть площадь поля фермера равна x га. Тогда площадь земли односельчан равна 2x га, площадь всего поля — 3x га. Обозначим через z га площадь каждого участка односельчан, k — число односельчан. Тогда kz = 2x . Пусть для засева одного гектара требуется m кг семян. Так как фермер продал каждому односельчанину ровно 7 кг (этого должно хватить на участок площадью z ), имеем mz = 7 . Пусть фермер купил n мешков семян по 25 кг и оставил себе a мешков. Тогда 25a = mx кг семян осталось у фермера (на его поле площадью x га); продано односельчанам 25(n - a) кг = 7k кг, то есть 25(n - a) = 7k. Поскольку 25(n - a) = 7k и (25, 7) = 1 , число n - a кратно 7 , а k кратно 25 . Положим n - a = 7t , тогда 25 * 7t = 7k , откуда k = 25t . Итак, k = 25t , n - a = 7t . Из kz = 2x получаем x = (kz)/(2) = (25tz)/(2). Учитывая ограничение n 2p 66 (где 3p — площадь поля), возможны две ситуации: k = 25 ( t = 1 ) или k = 50 ( t = 2 ). Рассмотрим случай k = 25 . Тогда из kz = 2x и условия 3x < 100 при натуральном z имеем z = 2 , x = 25 . Плотность посева у односельчан: (7)/(2) = 3,5 кг/га. У фермера площадь 25 га; по условию одинаковой плотности посева ему требуется 25 * 3,5 = 87,5 кг семян. Но 25a кратно 25 — противоречие. Случай отбрасывается. Рассмотрим случай k = 50 . Тогда 50z = 2x , x = 25z . С учётом 3x < 100 имеем z < (4)/(3) , то есть z = 1 , x = 25 . Плотность посева (7)/(1) = 7 кг/га. У фермера 25 га, ему нужно 25 * 7 = 175 кг семян, то есть 25a = 175 , a = 7 . Тогда n - a = 7t = 14 , t = 2 , и n = a + 14 = 21 . Площадь поля 3x = 75 га. Проверка: 75 < 100 ; z = 1 — натуральное; число односельчан k = 50 . Замечание: задача предполагает одинаковую плотность посева у фермера и односельчан. Ответ: а) 75 га б) 21 мешок в) 50 односельчан

А) $75$ га; Б) $21$ мешок; В) $50$ односельчан.