Задача №16965

На рисунке изображены графики функций $f(x)=\frac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b\text{,}$ которые пересекаются в точках $A$ и $B\text{.}$ Найдите абсциссу точки $B\text{.}$

На рисунке: гипербола $y=k/x$ в первом и третьем координатных квадрантах; прямая $g(x)=ax+b$ пересекает гиперболу в точке $A$ (в третьем квадранте) и в точке $B$ (в первом квадранте). Точка $A$ отмечена явно на рисунке в третьем квадранте; точные координаты по рисунку требуют изучения мелкой клетчатой сетки графика.

Точка $A(-3;-1)$ лежит на гиперболе $f(x)=\frac{k}{x}\text{,}$ поэтому

$$k=x_A\cdot y_A=(-3)\cdot (-1)=3,f(x)=\frac{3}{x}.$$

Прямая $g(x)=ax+b$ проходит через точки $(-3;-1)$ и $(-2;4)\text{.}$ Угловой коэффициент

$$a=\frac{4-(-1)}{-2-(-3)}=\frac{5}{1}=5,$$

а свободный член $b=4-5\cdot (-2)=14\text{.}$ Значит, $g(x)=5x+14\text{.}$

Абсциссы точек пересечения находим из уравнения $f(x)=g(x)\text{:}$

$$\frac{3}{x}=5x+14⟺5x^2+14x-3=0.$$

Дискриминант $D=196+60=256\text{,}$ корни $x=\frac{-14\pm 16}{10}\text{,}$ то есть $x=-3$ (точка $A$) и $x=0,2$ (точка $B$).

Ответ: $0,2$