Задача №16959

В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O\text{.}$ Треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по двум углам (вертикальные углы при $O$ и накрест лежащие при параллельных $BC\parallel AD$).

Обозначим $BC=a\text{,}$ $AD=b\text{.}$ Из подобия $△BOC\sim △AOD$ коэффициент подобия равен $\frac{a}{b}\text{,}$ а отношение площадей:

$$\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}}={\left(\frac{a}{b}\right)}^2=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}.$$

Значит $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}\text{.}$

Треугольники $AOB$ и $COD$ имеют одинаковую площадь (так как $S_{ABD}=S_{ACD}$ — треугольники на общем основании $AD$ с равными высотами, поэтому $S_{ABD}-S_{AOD}=S_{ACD}-S_{AOD}\text{,}$ то есть $S_{AOB}=S_{COD}$).

Ключевое свойство: для трапеции $S_{AOB}=S_{COD}=\sqrt{S_{BOC}\cdot S_{AOD}}\text{.}$ Это следует из того, что $△AOB$ и $△BOC$ имеют общую высоту из вершины $B$ к прямой $AC\text{,}$ поэтому $\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}}=\frac{AO}{OC}=\frac{b}{a}$ (из подобия). Аналогично $\frac{S_{COD}}{S_{BOC}}=\frac{b}{a}\text{.}$

Значит

$$S_{AOB}=S_{COD}=\sqrt{16\cdot 36}=\sqrt{576}=24.$$

Площадь трапеции:

$$S_{ABCD}=S_{BOC}+S_{AOD}+S_{AOB}+S_{COD}=16+36+24+24=100.$$

Или по компактной формуле: $S_{ABCD}={\left(\sqrt{S_{BOC}}+\sqrt{S_{AOD}}\right)}^2=(4+6{)}^2=100\text{.}$

Ответ: 100.