В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке O . Площади треугольников BOC и AOD равны соответственно 16 и 36. Найдите площадь трапеции.

В трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали AC и BD пересекаются в точке O . Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (вертикальные углы при O и накрест лежащие при параллельных BC AD ). Обозначим BC = a , AD = b . Из подобия BOC AOD коэффициент подобия равен (a)/(b) , а отношение площадей: (S_(BOC))/(S_(AOD)) = ((a)/(b))^2 = (16)/(36) = (4)/(9). Значит (a)/(b) = (2)/(3) . Треугольники AOB и COD имеют одинаковую площадь (так как S_(ABD) = S_(ACD) — треугольники на общем основании AD с равными высотами, поэтому S_(ABD) - S_(AOD) = S_(ACD) - S_(AOD) , то есть S_(AOB) = S_(COD) ). Ключевое свойство: для трапеции S_(AOB) = S_(COD) = sqrt(S_(BOC) * S_(AOD)) . Это следует из того, что AOB и BOC имеют общую высоту из вершины B к прямой AC , поэтому (S_(AOB))/(S_(BOC)) = (AO)/(OC) = (b)/(a) (из подобия). Аналогично (S_(COD))/(S_(BOC)) = (b)/(a) . Значит S_(AOB) = S_(COD) = sqrt(16 * 36) = sqrt(576) = 24. Площадь трапеции: S_(ABCD) = S_(BOC) + S_(AOD) + S_(AOB) + S_(COD) = 16 + 36 + 24 + 24 = 100. Или по компактной формуле: S_(ABCD) = (sqrt(S_(BOC)) + sqrt(S_(AOD)))^2 = (4 + 6)^2 = 100 . Ответ: 100.

100