Задача №16953

Решите уравнение $|x-1{|}^{{\lg }^{2}x-\lg x^2}=|x-1{|}^3\text{.}$ Если корней несколько, в ответе укажите их произведение.

ОДЗ: $x>0$ (для $\lg x$). Заметим, что $\lg x^2=2\lg x\text{,}$ поэтому показатель в левой части равен ${\lg }^{2}x-2\lg x\text{.}$

Рассмотрим основания $|x-1|\text{:}$

1. Случай $|x-1|=0\text{,}$ т. е. $x=1\text{.}$ Слева $0^0$ — не определено (или левая часть не определена), не корень.

2. Случай $|x-1|=1\text{,}$ т. е. $x=0$ или $x=2\text{.}$ С учётом ОДЗ остаётся $x=2\text{.}$ Подстановка: $1^{{\lg }^{2}2-2\lg 2}=1^3\text{,}$ то есть $1=1$ — верно. Корень $x=2\text{.}$

3. Случай $|x-1|>0\text{,}$ $|x-1|\ne 1$ (т. е. $x\ne 1\text{,}$ $x\ne 2\text{,}$ при ОДЗ $x>0$): степени равны при равных показателях:

Корни относительно $\lg x\text{:}$ $\lg x=-1$ или $\lg x=3\text{,}$ откуда $x=\frac{1}{10}$ или $x=1000\text{.}$

Все три корня уравнения: $\frac{1}{10}\text{,}$ $2\text{,}$ $1000\text{.}$

Их произведение: $\frac{1}{10}\cdot 2\cdot 1000=200\text{.}$

Ответ: $200\text{.}$