Решите уравнение |x-1|^(lg^2 x - lg x^2) = |x-1|^3. Если корней несколько, в ответе укажите их произведение.

ОДЗ: x > 0 (для lg x). Заметим, что lg x^2 = 2lg x, поэтому показатель в левой части равен lg^2 x - 2lg x. Рассмотрим основания |x-1|: 1. Случай |x - 1| = 0, т. е. x = 1. Слева 0^0 — не определено (или левая часть не определена), не корень. 2. Случай |x - 1| = 1, т. е. x = 0 или x = 2. С учётом ОДЗ остаётся x = 2. Подстановка: 1^(lg^2 2 - 2lg 2) = 1^3, то есть 1 = 1 — верно. Корень x = 2. 3. Случай |x - 1| > 0, |x-1| != 1 (т. е. x != 1, x != 2, при ОДЗ x > 0): степени равны при равных показателях: lg^2 x - 2lg x = 3 <=> lg^2 x - 2lg x - 3 = 0. Корни относительно lg x: lg x = -1 или lg x = 3, откуда x = (1)/(10) или x = 1000. Все три корня уравнения: (1)/(10), 2, 1000. Их произведение: (1)/(10) * 2 * 1000 = 200. Ответ: 200.

200