Задача №16950: Вероятности сложных событий

Имеется три партии деталей — по $20$ деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно $20,$ $15,$ $10 .$ Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая тоже оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали извлекались из третьей партии. Ответ округлите до сотых.

Используем формулу Байеса. Пусть $H_{i}$ — гипотеза «извлекли из $i$ -й партии», $A$ — «извлечены подряд две стандартные детали с возвратом из выбранной партии».

Вероятность выбора каждой партии:

P (H_{i}) = \frac{1}{3} .

Вероятность извлечь стандартную деталь в одном испытании для каждой партии:

P (A_{1} ∣ H_{1}) = \frac{20}{20} = 1; P (A_{1} ∣ H_{2}) = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}; P (A_{1} ∣ H_{3}) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} .

Так как деталь возвращается, события независимы. Вероятность извлечь две стандартные детали подряд $P (A ∣ H_{i}) = (P (A_{1} ∣ H_{i}))^{2} :$

P (A ∣ H_{1}) = 1; P (A ∣ H_{2}) = \frac{9}{16}; P (A ∣ H_{3}) = \frac{1}{4} .

По формуле полной вероятности:

P (A) = \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{16} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{3} (1 + \frac{9}{16} + \frac{4}{16}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{29}{16} = \frac{29}{48} .

По формуле Байеса искомая вероятность:

P (H_{3} ∣ A) = \frac{P ( H _{3} ) \cdot P ( A ∣ H _{3} )}{P ( A )} = \frac{1/12}{29/48} = \frac{48}{12 \cdot 29} = \frac{4}{29} \approx 0, 1379.

Округляя до сотых, получаем $0, 14 .$

Ответ: $0, 14 .$

Задача №16950

Задача #16950

Решай похожие задачи

Информация

Задача №16950

Задача #16950

Решай похожие задачи

Информация

Задача #16950

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #16950

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация