Доход нефтяной компании (в у.е.) равен численно произведению квадрата числа геологов на куб числа добытчиков. Наем одного геолога обходится в 16 у.е., одного добытчика — в 9 у.е. Если доход заданной величины получен при наименьшем возможном расходе на наем, найдите отношение числа геологов к числу добытчиков.

Пусть g — число геологов, d — число добытчиков. Доход: D = g^2 * d^3 = const. Расход: R = 16g + 9d . Из ограничения: d^3 = (D)/(g^2) , откуда d = D^(1/3) g^(-2/3) . Тогда: R(g) = 16g + 9 D^(1/3) g^(-2/3). Найдём производную и приравняем её к нулю: R'(g) = 16 - 6 D^(1/3) g^(-5/3) = 0. 16 g^(5/3) = 6 D^(1/3) <=> D^(1/3) = (8)/(3) g^(5/3). Это также означает, что 9d = 9 D^(1/3) g^(-2/3) = 9 * (8)/(3) g^(5/3) * g^(-2/3) = 24g , то есть: 9d = 24g => d = (8g)/(3) => (g)/(d) = (3)/(8). **Альтернатива (метод Лагранжа):** Прологарифмируем условие постоянства дохода: ln(g^2 d^3) = const , тогда 2ln g + 3ln d = const . Дифференцируя, получим: 2(dg)/(g) + 3(dd)/(d) = 0 => (dg)/(dd) = -(3g)/(2d). Из условия минимума расхода R = 16g + 9d : dR = 16dg + 9dd = 0 => (dg)/(dd) = -(9)/(16). Приравниваем выражения для производной: (3g)/(2d) = (9)/(16) => (g)/(d) = (3)/(8). Ответ: (g)/(d) = (3)/(8) (или 3 : 8 ).

3/8