Задача №16946

Доход нефтяной компании (в у.е.) равен численно произведению квадрата числа геологов на куб числа добытчиков. Наем одного геолога обходится в $16$ у.е., одного добытчика — в $9$ у.е. Если доход заданной величины получен при наименьшем возможном расходе на наем, найдите отношение числа геологов к числу добытчиков.

Пусть $g$ — число геологов, $d$ — число добытчиков. Доход:

Расход: $R=16g+9d\to \min \text{.}$

Из ограничения: $d^3=\frac{D}{g^2}\text{,}$ откуда $d=D^{1/3}{g}^{-2/3}\text{.}$ Тогда:

Найдём производную и приравняем её к нулю:

Это также означает, что $9d=9D^{1/3}{g}^{-2/3}=9\cdot \frac{8}{3}{g}^{5/3}\cdot g^{-2/3}=24g\text{,}$ то есть:

Альтернатива (метод Лагранжа):

Прологарифмируем условие постоянства дохода: $\ln (g^2{d}^3)=\text{const}\text{,}$ тогда $2\ln g+3\ln d=\text{const}\text{.}$ Дифференцируя, получим:

Из условия минимума расхода $R=16g+9d\text{:}$

Приравниваем выражения для производной:

Ответ: $\frac{g}{d}=\frac{3}{8}$ (или $3:8$).