Задача №16945

Найдите точку минимума функции
$y=\frac{2(x^2+2026)}{2x-2025}\text{.}$

Рассмотрим функцию

Производная по правилу дифференцирования частного:

Найдём корни числителя:

откуда $x=2026$ или $x=-1\text{.}$

Область определения разбивается точкой $x=\frac{2025}{2}=1012,5$ на две части. Точка $x=-1$ лежит в левой части, $x=2026$ — в правой.

Исследуем знак $y^{\prime }$ в окрестности $x=2026\text{:}$

1. При $x=1013>1012,5\text{:}$ $x^2-2025x-2026<0\text{,}$ значит, $y^{\prime }<0\text{.}$
2. При $x=3000\text{:}$ $x^2-2025x-2026>0\text{,}$ значит, $y^{\prime }>0\text{.}$

Значит, при $x=2026$ производная меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.

Ответ: 2026.