Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин
Решите неравенство
8logx2−1(x−1)+8logx2−1(x+1)⩽6.ОДЗ: x−1>0,x+1>0,x2−1>0,x2−1=1, то есть
x>1,x=2,x∈(1;2)∪(2;+∞).Заметим, что logx2−1(x−1)+logx2−1(x+1)=logx2−1((x−1)(x+1))=logx2−1(x2−1)=1.
Пусть t=logx2−1(x+1). Тогда logx2−1(x−1)=1−t.
Неравенство примет вид
81−t+8t⩽6⟺8t8+8t⩽6.Пусть m=8t>0. Тогда
m+m8⩽6⟺m2−6m+8⩽0⟺(m−2)(m−4)⩽0⟺2⩽m⩽4.Возвращаемся к t: 2⩽8t⩽4. Так как 8=23, имеем 21⩽23t⩽22, откуда 31⩽t⩽32.
К переменной x: 31⩽logx2−1(x+1)⩽32.
Перепишем через натуральный логарифм:
31⩽ln(x2−1)ln(x+1)⩽32.Это эквивалентно системе
⎩⎨⎧ln(x2−1)3ln(x+1)−ln(x2−1)⩾0,ln(x2−1)3ln(x+1)−2ln(x2−1)⩽0.По методу рационализации (y=lnφ(x)=logeφ(x), основание e>1):
1. знак 3ln(x+1)−ln(x2−1)=lnx2−1(x+1)3 совпадает со знаком x2−1(x+1)3−1=x2−1(x+1)3−(x2−1);
2. знак 3ln(x+1)−2ln(x2−1)=ln(x2−1)2(x+1)3 совпадает со знаком (x2−1)2(x+1)3−(x2−1)2;
3. знак ln(x2−1)=ln(x2−1)−ln1 совпадает со знаком x2−2.
С учётом ОДЗ (x2−1>0), дробь с положительным знаменателем сводится к проверке числителя; в итоге система равносильна
⎩⎨⎧x2−2(x−1)((x+1)2−(x−1))⩾0,x2−2(x−1)2((x+1)−(x−1)2)⩽0.Поскольку (x+1)2−(x−1)=x2+x+2=(x+21)2+47>0 и (x−1)2>0 на ОДЗ, можно сократить; учитывая (x+1)−(x−1)2=−x2+3x=−x(x−3):
⎩⎨⎧x2−2x−1⩾0,x2−2−x(x−3)⩽0.⟺⎩⎨⎧(x−2)(x+2)x−1⩾0,(x−2)(x+2)x(x−3)⩾0.На ОДЗ x>1 имеем x+2>0, x−1>0, x>0. Сокращаем положительные множители:
⎩⎨⎧x−21⩾0,x−2x−3⩾0.⟺{x>2,x⩾3.⟺x⩾3.С учётом ОДЗ: x∈[3;+∞).
Ответ: x∈[3;+∞).