Решите неравенство 8^(_(x^2-1)(x-1)) + 8^(_(x^2-1)(x+1)) 6.

ОДЗ: x - 1 > 0,x + 1 > 0,x^2 - 1 > 0,x^2 - 1 != 1 , то есть x > 1, x != sqrt(2), x in (1;sqrt(2)) U (sqrt(2); +inf). Заметим, что _(x^2-1)(x-1) + _(x^2-1)(x+1) = _(x^2-1)((x-1)(x+1)) = _(x^2-1)(x^2-1) = 1 . Пусть t = _(x^2-1)(x+1) . Тогда _(x^2-1)(x-1) = 1 - t . Неравенство примет вид 8^(1-t) + 8^(t) 6 (8)/(8^t) + 8^t 6. Пусть m = 8^t > 0 . Тогда m + (8)/(m) 6 ^2 - 6m + 8 0 (m-2)(m-4) 0 2 m 4. Возвращаемся к t : 2 8^t 4 . Так как 8 = 2^3 , имеем 2^1 2^(3t) 2^2 , откуда (1)/(3) t (2)/(3) . К переменной x : (1)/(3) _(x^2-1)(x+1) (2)/(3) . Перепишем через натуральный логарифм: (1)/(3) (ln(x+1))/(ln(x^2-1)) (2)/(3). Это эквивалентно системе cases (3ln(x+1) - ln(x^2-1))/(ln(x^2-1)) 0, [4pt] (3ln(x+1) - 2ln(x^2-1))/(ln(x^2-1)) 0. cases По методу рационализации ( y = ln (x) = _e (x) , основание e > 1 ): 1. знак 3ln(x+1) - ln(x^2-1) = ln((x+1)^3)/(x^2-1) совпадает со знаком ((x+1)^3)/(x^2-1) - 1 = ((x+1)^3 - (x^2-1))/(x^2-1) ; 2. знак 3ln(x+1) - 2ln(x^2-1) = ln((x+1)^3)/((x^2-1)^2) совпадает со знаком ((x+1)^3 - (x^2-1)^2)/((x^2-1)^2) ; 3. знак ln(x^2-1) = ln(x^2-1) - ln 1 совпадает со знаком x^2 - 2 . С учётом ОДЗ (x^2 - 1 > 0) , дробь с положительным знаменателем сводится к проверке числителя; в итоге система равносильна cases ((x-1)((x+1)^2 - (x-1)))/(x^2 - 2) 0, [6pt] ((x-1)^2((x+1) - (x-1)^2))/(x^2 - 2) 0. cases Поскольку (x+1)^2 - (x - 1) = x^2 + x + 2 = (x + (1)/(2))^2 + (7)/(4) > 0 и (x-1)^2 > 0 на ОДЗ, можно сократить; учитывая (x+1) - (x-1)^2 = -x^2 + 3x = -x(x - 3) : cases (x-1)/(x^2 - 2) 0, [6pt] (-x(x-3))/(x^2 - 2) 0. cases (x-1)/((x-sqrt(2))(x+sqrt(2))) 0, [6pt] (x(x-3))/((x-sqrt(2))(x+sqrt(2))) 0. cases На ОДЗ x > 1 имеем x + sqrt(2) > 0 , x - 1 > 0 , x > 0 . Сокращаем положительные множители: cases (1)/(x-sqrt(2)) 0, (x-3)/(x-sqrt(2)) 0. cases x > sqrt(2), x 3. cases 3. С учётом ОДЗ: x in [3; +inf) . Ответ: x in [3;+inf) .

[3; +∞)